4- Aplique 4 iterações do método de Newton-Raphson para determinar uma aproximação da solução de
no intervalo [1,2]. Use xo= 2
Passo 1
O enunciado pede: aplicar 4 iterações do método de Newton-Raphson para aproximar a solução da equação
no intervalo
, usando a aproximação inicial
).
Informações dadas e o que precisamos obter:
Informações dadas e o que precisamos obter:
- Função:
. - Derivada necessária:
. - Número de iterações: 4 (ou seja: calcular
a partir de ). - Ponto inicial:
.
Passo 2
Lembrete do método (fórmula e significado): o método de Newton-Raphson gera uma sequência
por
Aqui,
é a aproximação atual,
é o valor da função nessa aproximação, e
é a inclinação (derivada) da função nesse ponto. A ideia intuitiva: aproximamos a curva por uma reta tangente em
e usamos a raiz dessa reta como próxima aproximação. Agora vamos aplicar isso passo a passo para nossa função.
Passo 3
Preparar fórmulas específicas da função:
A cada iteração precisaremos calcular
, depois
e
, e então
Passo 4
Iteração 1 (de
para
):
Calculemos os valores necessários.
Calculemos os valores necessários.
Então
Aplicando Newton:
Arredondei aqui para seis casas decimais:
.
Passo 5
Iteração 2 (de
para
):
Primeiro calcule . Usando
,
Primeiro calcule
Então
Aplicando Newton:
Arredondei para seis casas decimais:
.
Passo 6
Iteração 3 (de
para
):
Com ,
Com
Logo
Aplicando Newton:
Arredondei para seis casas decimais:
.
Passo 7
Iteração 4 (de
para
):
Com ,
Com
Então
Aplicando Newton:
Arredondei para seis casas decimais:
.