4- Aplique 4 iterações do método de Newton-Raphson para determinar uma aproximação da solução de \mathrm{e}^{\wedge} \mathrm{x}-3 \mathrm{x}=0 no intervalo [1,2]. Use xo= 2

Passo 1

O enunciado pede: aplicar 4 iterações do método de Newton-Raphson para aproximar a solução da equação \mathrm{e}^x - 3x = 0 no intervalo [1,2], usando a aproximação inicial \(x_0 = 2).
Informações dadas e o que precisamos obter:
  • Função: \displaystyle f(x)=\mathrm{e}^x-3x.
  • Derivada necessária: \displaystyle f'(x)=\mathrm{e}^x-3.
  • Número de iterações: 4 (ou seja: calcular x_1,x_2,x_3,x_4 a partir de x_0=2).
  • Ponto inicial: \displaystyle x_0=2.

Passo 2

Lembrete do método (fórmula e significado): o método de Newton-Raphson gera uma sequência \{x_n\} por
x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.
Aqui, x_n é a aproximação atual, f(x_n) é o valor da função nessa aproximação, e f'(x_n) é a inclinação (derivada) da função nesse ponto. A ideia intuitiva: aproximamos a curva por uma reta tangente em x_n e usamos a raiz dessa reta como próxima aproximação. Agora vamos aplicar isso passo a passo para nossa função.

Passo 3

Preparar fórmulas específicas da função:
f(x)=\mathrm{e}^x-3x,\qquad f'(x)=\mathrm{e}^x-3.
A cada iteração precisaremos calcular \mathrm{e}^{x_n}, depois f(x_n) e f'(x_n), e então
x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.

Passo 4

Iteração 1 (de \displaystyle x_0=2 para \displaystyle x_1):
Calculemos os valores necessários.
\mathrm{e}^{2}\approx 7{,}38905609893.
Então
f(2)=\mathrm{e}^{2}-3\cdot 2 \approx 7{,}38905609893-6=1{,}38905609893,
f'(2)=\mathrm{e}^{2}-3 \approx 7{,}38905609893-3=4{,}38905609893.
Aplicando Newton:
x_1 = 2 - \frac{1{,}38905609893}{4{,}38905609893} \approx 2 - 0{,}316606 \approx 1{,}683394.
Arredondei aqui para seis casas decimais: \displaystyle x_1 \approx 1{,}683394.

Passo 5

Iteração 2 (de \displaystyle x_1 para \displaystyle x_2):
Primeiro calcule \mathrm{e}^{x_1}. Usando \displaystyle x_1\approx 1{,}683394,
\mathrm{e}^{1{,}683394}\approx 5{,}383763.
Então
f(1{,}683394)=\mathrm{e}^{1{,}683394}-3(1{,}683394)\approx 5{,}383763-5{,}050182=0{,}333581,
f'(1{,}683394)=\mathrm{e}^{1{,}683394}-3\approx 5{,}383763-3=2{,}383763.
Aplicando Newton:
x_2 = 1{,}683394 - \frac{0{,}333581}{2{,}383763} \approx 1{,}683394 - 0{,}139938 \approx 1{,}543456.
Arredondei para seis casas decimais: \displaystyle x_2 \approx 1{,}543456.

Passo 6

Iteração 3 (de \displaystyle x_2 para \displaystyle x_3):
Com \displaystyle x_2\approx 1{,}543456,
\mathrm{e}^{1{,}543456}\approx 4{,}683900.
Logo
f(1{,}543456)=\mathrm{e}^{1{,}543456}-3(1{,}543456)\approx 4{,}683900-4{,}630368=0{,}053532,
f'(1{,}543456)=\mathrm{e}^{1{,}543456}-3\approx 4{,}683900-3=1{,}683900.
Aplicando Newton:
x_3 = 1{,}543456 - \frac{0{,}053532}{1{,}683900} \approx 1{,}543456 - 0{,}031777 \approx 1{,}511679.
Arredondei para seis casas decimais: \displaystyle x_3 \approx 1{,}511679.

Passo 7

Iteração 4 (de \displaystyle x_3 para \displaystyle x_4):
Com \displaystyle x_3\approx 1{,}511679,
\mathrm{e}^{1{,}511679}\approx 4{,}535037.
Então
f(1{,}511679)=\mathrm{e}^{1{,}511679}-3(1{,}511679)\approx 4{,}535037-4{,}535037\approx -0{,}000037\\ (\text{próximo de zero}),ó
f'(1{,}511679)=\mathrm{e}^{1{,}511679}-3\approx 4{,}535037-3=1{,}535037.
Aplicando Newton:
x_4 = 1{,}511679 - \frac{-0{,}000037}{1{,}535037} \approx 1{,}511679 + 0{,}000024 \approx 1{,}511703.
Arredondei para seis casas decimais: \displaystyle x_4 \approx 1{,}511703.

Resposta

\displaystyle x_4 \approx 1{,}511703

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