6- Utilizando o método da bisseção, encontre uma aproximação do zero de
no intervalo
e
10^-4
Passo 1
O enunciado pede: usar o método da bisseção para encontrar uma aproximação do zero da função
no intervalo
com tolerâncias
.
Informações dadas:
Informações dadas:
Pergunta explícita: aplicar o método da bisseção e obter uma aproximação do zero no intervalo indicado.
Passo 2
O que é e quando podemos usar o método da bisseção (explicação didática passo a passo).
- Requisito fundamental: para aplicar a bisseção num intervalo
precisamos ter um cambio de sinal estrito em e ; isto é, precisamos que
Isto garante (por continuação e pelo Teorema do Valor Intermediário) que existe ao menos uma raiz em
. Sem esse sinal contrário em
e
, a bisseção não garante nada.
- Ideia do método: calcular o ponto médio
e verificar o sinal de
. Se
então a raiz está em
; se
então a raiz está em
. Repetimos, sempre reduzindo o intervalo pela metade.
- Critérios de parada (os dois citados no enunciado): normalmente paramos quando pelo menos uma das condições é satisfeita:
-
(o valor da função no ponto médio é suficientemente pequeno), ou -
(o tamanho do erro máximo possível — metade do comprimento do intervalo atual — é menor que a tolerância).
-
- Observação sobre erro: após
iterações o comprimento do intervalo é ; portanto a estimativa de erro absoluto na raiz é . Isto nos ajuda a saber quantas iterações são necessárias para atingir uma dada .
Passo 3
Aplicando o requisito inicial: calcular
e
com os valores numéricos, mostrando os passos.
- Calculemos
:
Usando valores aproximados:
Logo
- Calculemos
:
Usando valores aproximados:
Logo
- Agora o teste do produto:
Ou seja,
e
; não existe mudança de sinal entre os extremos do intervalo
.
Consequência direta (explicação didática): como o requisito
não é satisfeito, o método da bisseção NÃO pode ser aplicado de forma direta em
. Se insistíssemos em bissetar sem garantia de mudança de sinal, poderíamos reduzir o intervalo, mas nunca teríamos garantia de que existe uma raiz dentro dele — a bisseção perde seu fundamento teórico. Então, antes de começar a iterar, sempre verifique o sinal em
e
: isso evita perda de tempo (sei que dá aflição, mas é passo obrigatório).
Passo 4
Observações úteis e alternativas (quase um “truquezinho de amigo” para a prova).
- Note que, para a função dada,
. Portanto é uma raiz exata de . Só que não pertence ao intervalo pedido . - Se a intenção for realmente encontrar uma raiz usando bisseção, devemos primeiro localizar um intervalo
tal que . Por exemplo, avaliei rapidamente :
Como
e
, o intervalo
tem mudança de sinal e é adequado para aplicar a bisseção e aproximar a raiz (que sabemos que está em
).
- Portanto: ou corrigimos o intervalo do enunciado para um que contenha a raiz (por exemplo
ou — neste último caso já dá a raiz exata), ou concluímos que no intervalo dado o método não é aplicável porque não há garantia de raiz.
Resposta
Não é possível aplicar o método da bisseção em
, pois
e
têm o mesmo sinal (produto
), logo não há mudança de sinal em
e a bisseção não garante raiz nesse intervalo.