6- Utilizando o método da bisseção, encontre uma aproximação do zero de f(x) =e^{\wedge}-x^{2}-\cos (x) no intervalo [1,2] e E 1=E 2= 10^-4

Passo 1

O enunciado pede: usar o método da bisseção para encontrar uma aproximação do zero da função \,f(x)=e^{x}-x^{2}-\cos(x)\, no intervalo \,[1,2]\, com tolerâncias \,E_1=E_2=10^{-4}\,.
Informações dadas:
\text{função: } f(x)=e^{x}-x^{2}-\cos(x)çã
\text{intervalo: } a=1,\; b=2
\text{tolerâncias: } E_1=10^{-4},\; E_2=10^{-4}.â
Pergunta explícita: aplicar o método da bisseção e obter uma aproximação do zero no intervalo indicado.

Passo 2

O que é e quando podemos usar o método da bisseção (explicação didática passo a passo).
  • Requisito fundamental: para aplicar a bisseção num intervalo [a,b] precisamos ter um cambio de sinal estrito em a e b; isto é, precisamos que
f(a)\cdot f(b)<0.
Isto garante (por continuação e pelo Teorema do Valor Intermediário) que existe ao menos uma raiz em [a,b]. Sem esse sinal contrário em a e b, a bisseção não garante nada.
  • Ideia do método: calcular o ponto médio
c=\frac{a+b}{2}
e verificar o sinal de f\text{(c)}. Se f(a)\cdot f\text{(c)}<0 então a raiz está em [a,c]; se f\text{(c)}\cdot f(b)<0 então a raiz está em [c,b]. Repetimos, sempre reduzindo o intervalo pela metade.
  • Critérios de parada (os dois citados no enunciado): normalmente paramos quando pelo menos uma das condições é satisfeita:
    1. |f\text{(c)}|\le E_1 (o valor da função no ponto médio é suficientemente pequeno), ou
    2. \dfrac{b-a}{2}\le E_2 (o tamanho do erro máximo possível — metade do comprimento do intervalo atual — é menor que a tolerância).
  • Observação sobre erro: após n iterações o comprimento do intervalo é \dfrac{b-a}{2^{n}}; portanto a estimativa de erro absoluto na raiz é \le \dfrac{b-a}{2^{n+1}}. Isto nos ajuda a saber quantas iterações são necessárias para atingir uma dada E_2.

Passo 3

Aplicando o requisito inicial: calcular \,f(1) e \,f(2) com os valores numéricos, mostrando os passos.
  • Calculemos \,f(1):
f(1)=e^{1}-1^{2}-\cos(1).
Usando valores aproximados:
e^{1}\approx 2{,}718281828,\qquad \cos(1)\approx 0{,}540302306.
Logo
f(1)\approx 2{,}718281828 - 1 - 0{,}540302306 = 1{,}177979522.
  • Calculemos \,f(2):
f(2)=e^{2}-2^{2}-\cos(2).
Usando valores aproximados:
e^{2}\approx 7{,}389056099,\qquad \cos(2)\approx -0{,}416146837.
Logo
f(2)\approx 7{,}389056099 - 4 - (-0{,}416146837) = 3{,}805202936.
  • Agora o teste do produto:
f(1)\cdot f(2)\approx 1{,}177979522 \times 3{,}805202936 > 0.
Ou seja, \,f(1)>0 e \,f(2)>0; não existe mudança de sinal entre os extremos do intervalo [1,2].
Consequência direta (explicação didática): como o requisito \,f(a)\cdot f(b)<0 não é satisfeito, o método da bisseção NÃO pode ser aplicado de forma direta em [1,2]. Se insistíssemos em bissetar sem garantia de mudança de sinal, poderíamos reduzir o intervalo, mas nunca teríamos garantia de que existe uma raiz dentro dele — a bisseção perde seu fundamento teórico. Então, antes de começar a iterar, sempre verifique o sinal em a e b: isso evita perda de tempo (sei que dá aflição, mas é passo obrigatório).

Passo 4

Observações úteis e alternativas (quase um “truquezinho de amigo” para a prova).
  • Note que, para a função dada, \,f(0)=e^{0}-0^{2}-\cos(0)=1-0-1=0. Portanto x=0 é uma raiz exata de f. Só que 0 não pertence ao intervalo pedido [1,2].
  • Se a intenção for realmente encontrar uma raiz usando bisseção, devemos primeiro localizar um intervalo [a,b] tal que f(a)\cdot f(b)<0. Por exemplo, avaliei rapidamente \,f(-0{,}5):
e^{-0{,}5}\approx 0{,}60653066,\qquad \cos(-0{,}5)=\cos(0{,}5)\approx 0{,}87758256,
f(-0{,}5)\approx 0{,}60653066 - 0{,}25 - 0{,}87758256 \approx -0{,}5210519.
Como f(-0{,}5)\approx -0{,}52105<0 e f(1)\approx 1{,}17798>0, o intervalo [-0{,}5,1] tem mudança de sinal e é adequado para aplicar a bisseção e aproximar a raiz (que sabemos que está em 0).
  • Portanto: ou corrigimos o intervalo do enunciado para um que contenha a raiz (por exemplo [-0{,}5,1] ou [0,1] — neste último caso f(0)=0 já dá a raiz exata), ou concluímos que no intervalo dado [1,2] o método não é aplicável porque não há garantia de raiz.

Resposta

Não é possível aplicar o método da bisseção em [1,2], pois f(1)\approx 1{,}177979522 e f(2)\approx 3{,}805202936 têm o mesmo sinal (produto >0), logo não há mudança de sinal em [1,2] e a bisseção não garante raiz nesse intervalo.

Exercícios relacionados