Quantas iterações são necessárias para garantir que o erro no comprimento do intervalo (precisão) seja menor que 10^-3 no método da bisseção aplicado a [1,2] ?

Passo 1

O enunciado pede quantas iterações são necessárias no método da bisseção, aplicando-o ao intervalo inicial [1,2], para que o comprimento do intervalo seja menor que 10^-3. O conteúdo que vamos usar é a fórmula do comprimento do intervalo após n iterações no método da bisseção.

Passo 2

No método da bisseção, a cada iteração o intervalo de incerteza é dividido pela metade. Assim, depois de n iterações, o comprimento do intervalo é
Ln = b - a2^n
Queremos garantir que
Ln < 10^-3

Passo 3

Substituindo a=1 e b=2 na fórmula, obtemos
Ln = 2 - 12^n = 12^n < 10^-3
Portanto precisamos achar o menor n inteiro tal que
12^n < 10^-3 Long<=ftrightarrow 2^n > 10^3

Passo 4

Tomando logaritmo natural em ambos os lados de 2^n > 10^3, temos
n ln(2) > 3ln(10) Longrightarrow n > 3ln(10)ln(2) approx 6,90780,6931 approx 9,97
Como n deve ser inteiro, o menor valor que satisfaz essa desigualdade é n = 10.

Resposta

São necessárias 10 iterações para que o comprimento do intervalo fique abaixo de 10^-3.

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