Aplique o método da Bisseção e o da Falsa Posição para calcular a raiz positiva de x^2-7=0 com epsilon=10^-2, partindo do intervalo inicial [2.0,3.0].

Passo 1

O enunciado pede a raiz positiva da equação x^2-7=0 no intervalo [2,0;3,0] usando os métodos da bisseção e da falsa posição com tolerância epsilon=10^-2. O conteúdo aqui é métodos numéricos de busca de raízes para funções contínuas; vamos definir f(x)=x^2-7, verificar mudança de sinal em f(2,0) e f(3,0) e iterar em cada método até satisfazer o critério de parada.

Passo 2

Definimos a função
f(x)=x^2-7
Como f(2,0)=2,0^2-7=-3 e f(3,0)=3,0^2-7=2, há mudança de sinal em [2,0;3,0] e pelo Teorema do Valor Intermediário existe raiz. Para os dois métodos adotamos o critério de parada lvert f(ci)rvert<epsilon com epsilon=10^-2.

Passo 3

Aplicação do método da bisseção: calculamos
ci = ai + bi2,
avaliamos f(ci) e mantemos o subintervalo em que ocorre mudança de sinal. Os cálculos são:
Iteração 1: a1 = 2,0, b1 = 3,0, c1 = 2,5, f(c1) = -0,75 to mantemos [2,5;3,0]. \n
Iteração 2: a2 = 2,5, b2 = 3,0, c2 = 2,75, f(c2) = 0,5625 to mantemos [2,5;2,75]. \n
Iteração 3: a3 = 2,5, b3 = 2,75, c3 = 2,625, f(c3) = -0,109375 to mantemos [2,625;2,75]. \n
Iteração 4: a4 = 2,625, b4 = 2,75, c4 = 2,6875, f(c4) = 0,22265625 to mantemos [2,625;2,6875]. \n
Iteração 5: a5 = 2,625, b5 = 2,6875, c5 = 2,65625, f(c5) = 0,0576171875 to mantemos [2,625;2,65625]. \n
Iteração 6: a6 = 2,625, b6 = 2,65625, c6 = 2,640625, f(c6) = -0,026123046875 to mantemos [2,640625;2,65625]. \n
Iteração 7: a7 = 2,640625, b7 = 2,65625, c7 = 2,6484375, f(c7) = 0,015716552734375 to mantemos [2,640625;2,6484375]. \n
Iteração 8: a8 = 2,640625, b8 = 2,6484375, c8 = 2,64453125, f(c8) = -0,005218505859375. \n
Como lvert f(c8) rvert = 0,0052185 < 0,01, paramos e a aproximação final pela bisseção é x approx 2,64453125.

Passo 4

Aplicação do método da falsa posição: calculamos
ci = ai - f(ai) bi - aif(bi) - f(ai),
avaliamos f(ci) e mantemos o subintervalo com mudança de sinal. Os cálculos são:
Iteração 1: a1 = 2,0, b1 = 3,0, c1 = 2,0 - (-3) 1,02 - (-3) = 2,6, f(c1) = -0,24 to mantemos [2,6;3,0]. \n
Iteração 2: a2 = 2,6, b2 = 3,0, c2 = 2,6 - (-0,24) 0,42 - (-0,24) approx 2,64285714, f(c2) approx -0,013 to mantemos [2,64285714;3,0]. \n
Iteração 3: a3 approx 2,64285714, b3 = 3,0, c3 = a3 - f(a3) 0,357142862 - f(a3) approx 2,645163, f(c3) approx 0,000859. \n
Como lvert f(c3) rvert = 0,000859 < 0,01, paramos e a aproximação final pela falsa posição é x approx 2,645163.

Resposta

Bisseção: xapprox2,64453125
Falsa Posição: xapprox2,645163

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