Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
sumn=2^infty ln nn^2+2

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
sumn=2^infty ln nn^2+2
e, se convergente, determinar sua soma. O conteúdo principal aqui é o teste da comparação ou teste da integral para séries envolvendo termos do tipo ln n /n^p.

Passo 2

Note que, para todo n>=2, temos
0 <= ln nn^2+2 <= ln nn^2
Logo, se sum ln n /n^2 convergir, a nossa série original também converge por comparação direta.

Passo 3

Aplicamos o teste da integral à função f(x)=ln x/x^2, x>=2:
integral2^infty ln xx^2,dx
Fazendo u=ln x e dv=x^-2dx, ou lembrando a primitivação direta, obtém-se
integral ln xx^2,dx = -ln x +1x + C
Assim
integral2^infty ln xx^2,dx =limbtoinftyl[-ln x +1xr]2^b =ln 2 +12<infty
Portanto sum ln n /n^2 converge, e pela comparação a série dada também converge.

Passo 4

Concluímos que a série
sumn=2^infty ln nn^2+2
é convergente absoluta. Não existe uma expressão em termos de funções elementares padrões para sua soma, mas pode-se obter valor numérico por somas parciais e estimativa do resto.

Passo 5

Fazendo o somatório até n=100 e estimando o termo de resto pela integral, obtemos
sumn=2^100 ln nn^2+2approx 0,783e integral100^inftyln xx^2,dxapprox0,056,
de modo que
sumn=2^infty ln nn^2+2approx0,783+0,056=0,839
Uma aproximação mais refinada leva a
boxed0,84 (aproximadamente)

Resposta

A série converge absolutamente, e sua soma é aproximadamente 0,84.

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