Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da série
e, se convergente, determinar sua soma. O conteúdo principal aqui é o teste da comparação ou teste da integral para séries envolvendo termos do tipo
.
Passo 2
Note que, para todo
, temos
Logo, se
convergir, a nossa série original também converge por comparação direta.
Passo 3
Aplicamos o teste da integral à função
,
:
Fazendo
e
, ou lembrando a primitivação direta, obtém-se
Assim
Portanto
converge, e pela comparação a série dada também converge.
Passo 4
Concluímos que a série
é convergente absoluta. Não existe uma expressão em termos de funções elementares padrões para sua soma, mas pode-se obter valor numérico por somas parciais e estimativa do resto.
Passo 5
Fazendo o somatório até
e estimando o termo de resto pela integral, obtemos
de modo que
Uma aproximação mais refinada leva a
Resposta
A série converge absolutamente, e sua soma é aproximadamente
.