Resolva o sistema usando o método de Decomposição LU:
l 5 x1+x2-x3=5 x1+3 x2+x3=4 2 x1-x2+7 x3=1

Passo 1

O enunciado pede resolver o sistema linear
5 x1 + x2 - x3 = 5, x1 + 3 x2 + x3 = 4, 2 x1 - x2 + 7 x3 = 1,
usando decomposição LU (método de Doolittle). Vamos fatorar A=LU, depois resolver L,y=b e U,x=y por substituição direta.

Passo 2

Escrevendo
A = 5 & 1 & -11 & 3 & 12 & -1 & 7, b = 541,
aplicamos eliminação de Gauss sem pivotamento para obter U e os multiplicadores que formam L. O multiplicador para zerar a21 é
ell21 = 15,
para zerar a31 é
ell31 = 25,
e para zerar a nova entrada a32 é
ell32 = -7/514/5 = -12

Passo 3

Com esses multiplicadores obtemos
L = 1 & 0 & 0 15 & 1 & 0 25 & -12 & 1 , U = 5 & 1 & -1 0 & tfrac145 & tfrac65 0 & 0 & 8

Passo 4

Resolvendo L,y=b por substituição para (y1,y2,y3)^T, temos
y1 = 5, y2 = 4 - tfrac15cdot5 = 3, y3 = 1 - tfrac25cdot5 + tfrac12cdot3 = tfrac12

Passo 5

Agora resolvemos U,x = y por substituição regressiva para (x1,x2,x3)^T. Da terceira equação
8,x3 = tfrac12 Rightarrow x3 = tfrac116
Da segunda
tfrac145x2 + tfrac65x3 = 3 Rightarrow x2 = 117112
Da primeira
5,x1 + x2 - x3 = 5 Rightarrow x1 = 4556

Resposta

x1 = 4556, x2 = 117112, x3 = 116

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