Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
sumn=1^infty e^1nn^2

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
sumn=1^inftye^1/nn^2
que envolve a expansão de e^x e teste de séries do tipo p. Vamos usar o teste de comparação (ou limite comparativo) e, caso seja convergente, obter uma expressão para a soma via expansão em série de potências de e^1/n.

Passo 2

Observamos que, quando ,
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Como é convergente ( -série com ) e os termos extras também convergem, pela comparação concluímos que a série original converge.

Passo 3

Para obter a soma, escrevemos a expansão em série de potências
e^1/n=sumk=0^infty1k!,1n^k
Então o termo geral é
e^1/nn^2 =sumk=0^infty1k!,1n^k+2
e, trocando soma dupla (justificado pela positividade dos termos),
sumn=1^inftye^1/nn^2 =sumk=0^infty1k!sumn=1^infty1n^k+2 =sumk=0^inftyzeta(k+2)k!,
onde zeta(s)=sumn=1^infty1/n^s é a função zeta de Riemann.

Passo 4

Para ter uma aproximação numérica, basta somar alguns termos:
zeta(2)&approx1,644934, zeta(3)&approx1,2020569, zeta(4)&approx1,082323, zeta(5)&approx1,036928,dots
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sumk=0^4zeta(k+2)k! approx1,644934+1,202057+1,0823232+1,0369286+cdotsapprox3,6034,
e incluindo mais termos chega-se a cerca de 3,6134.

Resposta

A série
sumn=1^inftye^1/nn^2
é convergente. A sua soma pode ser expressa como
sumn=1^inftye^1/nn^2 =sumk=0^inftyzeta(k+2)k!
e vale numericamente aproximadamente 3,6134.

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