Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da série
que envolve a expansão de
e teste de séries do tipo
. Vamos usar o teste de comparação (ou limite comparativo) e, caso seja convergente, obter uma expressão para a soma via expansão em série de potências de
.
Passo 2
Observamos que, quando
,
logo
Como
é convergente (
-série com
) e os termos extras
também convergem, pela comparação concluímos que a série original converge.
Passo 3
Para obter a soma, escrevemos a expansão em série de potências
Então o termo geral é
e, trocando soma dupla (justificado pela positividade dos termos),
onde
é a função zeta de Riemann.
Passo 4
Para ter uma aproximação numérica, basta somar alguns termos:
Logo
e incluindo mais termos chega-se a cerca de
.
Resposta
A série
é convergente. A sua soma pode ser expressa como
e vale numericamente aproximadamente
.