Aplique o método da Bissecção para isolar uma raíz, começando do intervalo I=[1,2], utilizando 5 iterações.
a) f(x)=x^4-3 x^2+1
b) f(x)=x^2-5 x+5
c) f(x)=x^3-x-1

Passo 1

Beleza, o enunciado manda aplicar o método da Bissecção pra isolar uma raiz no intervalo [1,2], fazendo 5 iterações, em três funções diferentes:
a) f(x)=x^4-3x^2+1
b) f(x)=x^2-5x+5
c) f(x)=x^3-x-1
Conteúdo: Método Numérico – Bissecção.
O que precisamos:
  1. Verificar que f(1)cdot f(2)<0 (ou seja, sinais opostos) garante pelo Teorema de Bolzano que existe raiz em [1,2].
  2. Calcular o ponto médio m=(a+b)/2.
  3. Avaliar f(m) e decidir em qual metado intervalo [a,m] ou [m,b] há mudança de sinal.
  4. Repetir esse processo 5 vezes.

Passo 2

Parte (a): f(x)=x^4-3x^2+1
  1. Avaliando nas bordas:
    • f(1)=1-3+1=-1
    • f(2)=16-12+1=5
      Como -1cdot5<0, tem raiz em [1,2].
Vamos às 5 iterações (em cada linha, (ai,bi)to mito f(mi)to novo intervalo):
  1. a0=1,;b0=2;Rightarrow;m1=1+22=1.5,;f(1.5)=5.0625-6.75+1=-0.6875;
    sinal de f(m1) é negativo, junto com f(a0)=-1 => nova base [1.5,2].
  2. a1=1.5,;b1=2;Rightarrow;m2=1.75,;f(1.75)=9.3789-9.1875+1=1.1914>0;
    então raiz em [1.5,1.75].
  3. a2=1.5,;b2=1.75;Rightarrow;m3=1.625,;f(1.625)=6.972-7.9219+1approx0.0501>0;
    nova base [1.5,1.625].
  4. a3=1.5,;b3=1.625;Rightarrow;m4=1.5625,;f(1.5625)=5.9605-7.3242+1approx-0.3637;
    raiz em [1.5625,1.625].
  5. a4=1.5625,;b4=1.625;Rightarrow;m5=1.59375,;f(1.59375)=6.4516-7.6201+1approx-0.1685;
    raiz em [1.59375,1.625].
Depois de 5 iterações o ponto médio é m5=1.59375, mas a melhor aproximação que usamos é o meio do último intervalo:
c5=1.59375+1.6252=1.609375

Passo 3

Parte (b): f(x)=x^2-5x+5
  1. f(1)=1-5+5=1,;f(2)=4-10+5=-1;Rightarrow; raiz em [1,2].
Iterações:
  1. [1,2]to m1=1.5,;f(1.5)=2.25-7.5+5=-0.25;Rightarrow;[1,1.5]
  2. [1,1.5]to m2=1.25,;f(1.25)=1.5625-6.25+5=0.3125;Rightarrow;[1.25,1.5]
  3. [1.25,1.5]to m3=1.375,;f(1.375)=1.8906-6.875+5=0.0156;Rightarrow;[1.375,1.5]
  4. [1.375,1.5]to m4=1.4375,;f(1.4375)=2.0664-7.1875+5=-0.1211;Rightarrow;[1.375,1.4375]
  5. [1.375,1.4375]to m5=1.40625,;f(1.40625)=1.9775-7.0313+5approx-0.0538;Rightarrow;[1.375,1.40625]
Aproximação final:
c5=1.375+1.406252=1.390625

Passo 4

Parte ©: f(x)=x^3-x-1
  1. f(1)=1-1-1=-1,;f(2)=8-2-1=5;Rightarrow; raiz em [1,2].
Iterações:
  1. [1,2]to m1=1.5,;f(1.5)=3.375-1.5-1=0.875;Rightarrow;[1,1.5]
  2. [1,1.5]to m2=1.25,;f(1.25)=1.9531-1.25-1=-0.2969;Rightarrow;[1.25,1.5]
  3. [1.25,1.5]to m3=1.375,;f(1.375)=2.5957-1.375-1=0.2207;Rightarrow;[1.25,1.375]
  4. [1.25,1.375]to m4=1.3125,;f(1.3125)=2.2603-1.3125-1=-0.0522;Rightarrow;[1.3125,1.375]
  5. [1.3125,1.375]to m5=1.34375,;f(1.34375)=2.4300-1.34375-1approx0.0863;Rightarrow;[1.3125,1.34375]
Aproximação final:
c5=1.3125+1.343752=1.328125

Resposta

As aproximações das raízes após 5 iterações de Bissecção em [1,2] são:
a) xapprox1.609375
b) xapprox1.390625
c) xapprox1.328125

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