Calcular as raízes da função
f(x)=det[cccc x & 1 & 0 & 0 1 & x & 1 & 0 0 & 1 & x & 1 0 & 0 & 1 & x ]

Passo 1

Beleza, o que temos aqui é um exercício de Álgebra Linear/Determinantes. Precisamos achar as “raízes” da função
f(x)=det x & 1 & 0 & 0 1 & x & 1 & 0 0 & 1 & x & 1 0 & 0 & 1 & x ,
ou seja, resolver . Para isso, vamos usar uma técnica de determinante para matrizes tridiagonais: definimos como o determinante de tamanho e achamos uma relação de recorrência. Aí, montamos e resolvemos .

Passo 2

Primeiro, vamos definir:
  • Dn = x,Dn-1 - Dn-2 = determinante da matriz tridiagonal D0 = 1, D1 = x com na diagonal e 1 nas sub- e super-diagonais.
  • É conhecido que, para esse tipo de matriz, vale a recorrência
Além disso, as condições iniciais são

Passo 3

Usando a recorrência, calculamos passo a passo até f(x) = D4 = x^4 - 3x^2 + 1 :
  1. .
  2. .
Então concluímos que

Passo 4

Agora é só resolver y^2 - 3y + 1 = 0 . Para facilitar, fazemos a troca y = 3 pm raiz9 - 42 = 3 pm raiz52 . A equação vira
Usando a fórmula de Bhaskara:

Passo 5

Voltando a x^2 = 3 + raiz52 ou x^2 = 3 - raiz52 , como x = pm raiz3 + raiz52 e x = pm raiz3 - raiz52 , temos
Portanto

Resposta

As raízes da função são
x = pm raiz3 + raiz52 e x = pm raiz3 - raiz52

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