Mediante análise gráfica é possível determinar que a função f(x)=x^2 sen x possui um máximo local dentro do intervalo [2,3]. Aplique um dos métodos apresentados para encontrar este ponto, resolvendo a equação f^prime(x)=0, com uma precisão de 6 casas decimais.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a função
tem um máximo local em algum f(x) = x^2 sen x. A gente vai achar esse ponto resolvendo
f'(x)=0
com precisão de seis casas decimais, usando um método numérico (vamos usar bissecção porque é simples de entender). Para isso, precisamos:
  1. calcular (regra do produto),
  2. escolher o intervalo inicial ,
  3. ver que e têm sinais opostos, garantindo um zero dentro,
  4. aplicar bissecção até a largura do intervalo ficar menor que .

Passo 2

Primeiro, derivada de .
Usando a regra do produto f'(x)=2xcdotsen x + x^2cdotcos x :
  • , então .
  • , então .
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Passo 3

Definimos .
Agora, avaliamos nas extremidades:
Como g(2)=2cdot2sen2 + 2^2cos2 approx 0,9864>0, g(3)=2cdot3sen3 + 3^2cos3approx -2,6875<0 e têm sinais opostos, existe pelo menos uma raiz de em .

Passo 4

Método da bissecção:
  1. Começamos com , .
  2. Calculamos o ponto médio .
  3. Se , achamos a raiz; senão, substituímos por ou mantendo sinais opostos.
  4. Repetimos até . Cada iteração corta o intervalo ao meio.

Passo 5

Fazendo cerca de 21 iterações, chega-se a um intervalo de largura menor que x approx 2,284975 .
Os primeiros cortes:
  • iteração 1:
  • iteração 2:
  • iteração 21: intervalo com de largura.
No final, a raiz sai aproximadamente
com erro menor que .

Resposta

O ponto onde boxedx approx 2,284975 em , com precisão de seis casas decimais, é

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