Aplique o método da bissecção para resolver a equação x^3+cos x=0, obtendo os extremos do intervalo inicial [a, b] como no teorema de Bolzano. Determine o número mínimo de iterações para este método com precisão varepsilon=10^-2, bem como uma raiz aproximada para a equação acima.

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra gente usar o método da bissecção pra resolver a equação
x^3 + cos x = 0
Primeiro, a gente vai precisar do teorema de Bolzano (que diz que, se uma função contínua muda de sinal entre dois pontos n >= logl(b-avarepsilonr)log 2 e , então existe pelo menos uma raiz nesse intervalo) e da ideia do método da bissecção (que consiste em dividir o intervalo ao meio repetidas vezes, sempre pegando o subintervalo onde a função muda de sinal). Também vamos usar a fórmula que dá o número mínimo de iterações necessárias pra chegar numa precisão :

Passo 2

Definindo a função
f(x) = x^3 + cos x,
a gente precisa achar f(-1)=(-1)^3+cos(-1)=-1+0,5403approx -0,4597<0 e f(0)=0^3+cos(0)=1>0 tais que e tenham sinais opostos. Vamos testar:
  • Em ,
  • Em ,
Como deu e , pelo teorema de Bolzano existe ao menos uma raiz em .

Passo 3

Calcular o número mínimo de iterações n >= logl(b-avarepsilonr)log 2 = logl(0 - (-1)10^-2r)log 2 = log(100)log 2 approx 4,6050,693 approx 6,64 pra :
Como tem que ser inteiro, a gente faz pelo menos iterações.

Passo 4

Vamos aplicar 7 iterações de bissecção em |-0,859375 - (-0,8671875)| = 0,0078125 < 10^-2, , pegando sempre o subintervalo onde xaprox = -0,8671875 + (-0,859375)2 = -0,86328125 approx -0,8633 muda de sinal:
  1. Intervalo inicial , ponto médio .
    .
    Troca-se , fica .
  2. , .
    .
    Fica .
  3. , .
    .
    Fica .
  4. , .
    .
    Fica .
  5. , .
    .
    Fica .
  6. , .
    .
    Fica .
  7. , .
    .
    Fica .
Depois dessas 7 iterações, o comprimento do intervalo é
logo já alcançamos a precisão desejada. Como aproximação da raiz, podemos tomar o ponto médio final:

Resposta

Número mínimo de iterações: 7
Raiz aproximada com : .

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