Se R e S são as relações binárias de A=x in Z mid-2 <= x <= 5 em B=y in Z mid-2 <= y <= 3 definidas por:
l x R y Leftrightarrow 2 divide (x-y) x S y Leftrightarrow(x-1)^2=(y-2)^2
forneça:
c) R cap S.

Passo 1

Beleza, o exercício diz que temos dois conjuntos
A = { x ∈ ℤ ∣ –2 ≤ x ≤ 5 } e B = { y ∈ ℤ ∣ –2 ≤ y ≤ 3 }
e duas relações R e S de A em B definidas por
x,R,y iff 2 divide (x - y) e (x-1)^2 = (y-2)^2 iff x,S,y
O que queremos é a interseção dessas relações, .
Conteúdo: relações binárias, interseção de relações, divisibilidade por 2 e resolução de equação quadrática simples.

Passo 2

Primeiro, vamos entender direitinho o que é S.
Temos
(x-1)^2 = (y-2)^2
Isso significa que
y - 2 = pm (x-1)
Então surgem dois “braços” de S:
  1. y = 2 + (x-1) = x + 1
  2. y = 2 – (x-1) = 3 – x
Em resumo,
S = , (x,y)mid y = x+1 ou y = 3-x ,
com , .

Passo 3

Agora a gente quer os pares que estão em S e satisfazem R, isto é
2 mid (x - y)
Vamos checar cada caso de S:
Caso 1: x - y = x - (x+1) = -1, .
Então
x - y = x - (3 - x) = 2x - 3
e não é divisível por 2. Logo nenhum par desse caso fica em .
Caso 2: .
Então
Para todo inteiro , é par e ao subtrair 3 (ímpar) dá um número ímpar. Logo para todo . Portanto nenhum par desse caso fica em também.

Resposta

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