Dado o polinômio p(x)=x^3+2 x^2+x-2, faça o que se pede:
Determine um intervalo que contenha todas as raízes de p.

Passo 1

Beleza, temos o polinômio
p(x)=x^3+2x^2+x-2
O que nos pedem é achar um intervalo que com certeza contenha todas as raízes (reais ou complexas) de .
Conteúdo: teoria de “cotas para raízes de polinômios” (cota de Cauchy). Vamos usar esse resultado pra encontrar um limite em valor absoluto que englobe todas as raízes.

Passo 2

Teoria que vamos aplicar (Cota de Cauchy):
Para um polinômio
anx^n+an-1x^n-1+cdots+a0(anneq0),
todas as suas raízes lvert alpharvert <= 1 + maxll|tfracan-1anr|,l|tfracan-2anr|,dots,l|tfraca0anr|r satisfazem
Ou seja, basta calcular o máximo dos coeficientes (em valor absoluto), dividir pelo coeficiente líder e somar 1.

Passo 3

No nosso caso lvert xrvert <= 1 + 21 = 1 + 2 = 3, , , .
Vamos ao cálculo:
  1. Valores absolutos dos coeficientes menores: , , .
  2. O máximo é .
  3. Aplicando a fórmula:

Resposta

Todas as raízes de boxed[-3,,3] estão contidas no intervalo

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