Se R e S são as relações binárias de A=x in Z mid-2 <= x <= 5 em B=y in Z mid-2 <= y <= 3 definidas por:
l x R y Leftrightarrow 2 divide (x-y) x S y Leftrightarrow(x-1)^2=(y-2)^2
forneça:
b) o domínio e a imagem de R e de S;

Passo 1

Beleza, o problema fala de duas relações binárias em conjuntos inteiros
A = {x ∈ ℤ ∣ –2 ≤ x ≤ 5} e B = {y ∈ ℤ ∣ –2 ≤ y ≤ 3}.
R está definida por
xRy ;Leftrightarrow; 2 divide (x-y),
e S por
xSy ;Leftrightarrow;(x-1)^2 = (y-2)^2
O que a gente quer achar é, pra cada relação, o domínio (todos os x em A que se relacionam com algum y em B) e a imagem (todos os y em B que aparecem pra algum x em A). Vamos precisar só da definição de domínio e imagem de relação.

Passo 2

Definições (teoria):
– O domínio de uma relação T ⊆ A×B é
Dom(T) ;=;,xin A mid exists,yin B:;xTy
– A imagem de T é
Im(T) ;=;,yin B mid exists,xin A:;xTy

Passo 3

Domínio de R:
R exige que Dom(R) ;=;A=-2,-1,0,1,2,3,4,5 seja múltiplo de 2, ou seja .
Em A temos tanto pares quanto ímpares, e em B também ( pares e ímpares).
Logo, para qualquer existe um com mesma paridade (por exemplo, se é par, escolhe ; se é ímpar, escolhe ).
Logo

Passo 4

Imagem de R:
Queremos todos os Im(R) ;=;B=-2,-1,0,1,2,3 que têm algum com .
Mas de novo, todo em B é par ou ímpar, e em A também existem pares e ímpares, então para cada achamos um .
Logo

Passo 5

Domínio de S:
S diz y-2 = x-1 Longrightarrow y = x+1, , ou seja y-2 = -(x-1) Longrightarrow y = 3 - x .
Isso dá duas possibilidades:
Dom(S) ;=;A=-2,-1,0,1,2,3,4,5
ou
Queremos ver pra quais pelo menos uma dessas fórmulas produz um .
  1. exige , ou seja .
  2. exige , ou seja .
    A união dessas condições é , que é exatamente A.
    Logo

Passo 6

Imagem de S:
A gente varia yin,x+1,;3-x e calcula
Im(S) ;=;B=-2,-1,0,1,2,3
Como vai de a , vai de a e vai de a .
Juntando tudo aparece o conjunto , mas a imagem só pega .
Ficamos então com

Resposta

Domínio e imagem de R e S:
, ,
, .

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