Se
e
são as relações binárias de
em
definidas por:
forneça:
b) o domínio e a imagem de R e de S;
b) o domínio e a imagem de R e de S;
Passo 1
Beleza, o problema fala de duas relações binárias em conjuntos inteiros
A = {x ∈ ℤ ∣ –2 ≤ x ≤ 5} e B = {y ∈ ℤ ∣ –2 ≤ y ≤ 3}.
R está definida por
A = {x ∈ ℤ ∣ –2 ≤ x ≤ 5} e B = {y ∈ ℤ ∣ –2 ≤ y ≤ 3}.
R está definida por
e S por
O que a gente quer achar é, pra cada relação, o domínio (todos os x em A que se relacionam com algum y em B) e a imagem (todos os y em B que aparecem pra algum x em A). Vamos precisar só da definição de domínio e imagem de relação.
Passo 2
Definições (teoria):
– O domínio de uma relação T ⊆ A×B é
– O domínio de uma relação T ⊆ A×B é
– A imagem de T é
Passo 3
Domínio de R:
R exige que seja múltiplo de 2, ou seja
.
Em A temos tanto pares quanto ímpares, e em B também ( pares e
ímpares).
Logo, para qualquer existe um
com mesma paridade (por exemplo, se
é par, escolhe
; se
é ímpar, escolhe
).
Logo
R exige que
Em A temos tanto pares quanto ímpares, e em B também (
Logo, para qualquer
Logo
Passo 4
Imagem de R:
Queremos todos os que têm algum
com
.
Mas de novo, todo em B é par ou ímpar, e em A também existem pares e ímpares, então para cada
achamos um
.
Logo
Queremos todos os
Mas de novo, todo
Logo
Passo 5
Domínio de S:
S diz , ou seja
.
Isso dá duas possibilidades:
S diz
Isso dá duas possibilidades:
ou
Queremos ver pra quais
pelo menos uma dessas fórmulas produz um
.
-
exige , ou seja . -
exige , ou seja .
A união dessas condições é, que é exatamente A.
Logo
Passo 6
Imagem de S:
A gente varia e calcula
A gente varia
Como
vai de
a
,
vai de
a
e
vai de
a
.
Juntando tudo aparece o conjunto , mas a imagem só pega
.
Ficamos então com
Juntando tudo aparece o conjunto
Ficamos então com
Resposta
Domínio e imagem de R e S:
,
,
,
.