Aplique o método de eliminação de Gauss para resolver o sistema abaixo:
\left\{\begin{array}{l} 4 \cdot x_{1}+8 \cdot x_{2}+10 \cdot x_{3}+12 \cdot x_{4}=100 \\\\ 7 \cdot x_{1}+9 \cdot x_{2}+5 \cdot x_{3}+3 \cdot x_{4}=9 \\\\ -8 \cdot x_{1}+0 \cdot x_{2}+32 \cdot x_{3}-2 \cdot x_{4}=1 \\\\ -21 \cdot x_{1}+5 \cdot x_{2}+x_{3}+x_{4}=8 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear abaixo, ou seja, encontrar os valores das incógnitas \,x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\, que satisfazem todas as equações simultaneamente:
\left\{\begin{array}{l} 4\cdot x_{1}+8\cdot x_{2}+10\cdot x_{3}+12\cdot x_{4}=100,\\[4pt] 7\cdot x_{1}+9\cdot x_{2}+5\cdot x_{3}+3\cdot x_{4}=9,\\[4pt] -8\cdot x_{1}+0\cdot x_{2}+32\cdot x_{3}-2\cdot x_{4}=1,\\[4pt] -21\cdot x_{1}+5\cdot x_{2}+1\cdot x_{3}+1\cdot x_{4}=8. \end{array}\right.
Dados relevantes:
\begin{aligned} &\text{As quatro equações acima (coeficientes e termos independentes).}\\\ &\text{Objetivo: aplicar eliminação de Gauss (operações elementares em linhas) e encontrar }x_1,x_2,x_3,x_4. \end{aligned}çõçãçõ]

Passo 2

Montagem da matriz aumentada do sistema (coeficientes + coluna dos termos independentes). Vou escrever a matriz aumentada \,A|b\, em forma de bloco:
\left(\begin{array}{cccc|c} 4 & 8 & 10 & 12 & 100\\[2pt] 7 & 9 & 5 & 3 & 9\\[2pt] -8 & 0 & 32 & -2 & 1\\[2pt] -21 & 5 & 1 & 1 & 8 \end{array}\right).
Breve explicação didática: a matriz aumentada reúne todas as informações do sistema. O objetivo da eliminação de Gauss é, por operações sobre as linhas (trocar linhas, multiplicar uma linha por escalar não nulo, somar múltiplos de uma linha em outra), transformar essa matriz numa forma triangular superior (zeros abaixo da diagonal principal). Depois resolvemos por substituição (retro-substituição).]

Passo 3

Primeiro passo prático: zerar os elementos abaixo do pivô na primeira coluna (usar a primeira linha como pivô). Em vez de trabalhar com frações imediatas, eu faço combinações inteiras para evitar muitos decimais — isto é totalmente válido porque operações do tipo \,k\cdot R_i + m\cdot R_j\, também preservam as soluções se k\neq 0.
Estado inicial:
\begin{aligned} R_1&=(4,\;8,\;10,\;12\;|\;100),\\\ R_2&=(7,\;9,\;5,\;3\;|\;9),\\\ R_3&=(-8,\;0,\;32,\;-2\;|\;1),\\\ R_4&=(-21,\;5,\;1,\;1\;|\;8). \end{aligned}
Vou anular as entradas da coluna 1 em R_2,R_3,R_4 usando combinações inteiras:
  • R_2 \leftarrow 4R_2 - 7R_1 (pois 4\cdot7 - 7\cdot4 = 0);
  • R_3 \leftarrow R_3 + 2R_1 (pois -8 + 2\cdot4 = 0);
  • R_4 \leftarrow 4R_4 + 21R_1 (pois 4\cdot(-21) + 21\cdot4 = 0).
Calculemos cada nova linha:
  • 4R_2 = (28,\;36,\;20,\;12\;|\;36) e 7R_1=(28,\;56,\;70,\;84\;|\;700). Assim
R_2' = 4R_2 - 7R_1 = (0,\;-20,\;-50,\;-72\;|\;-664).
  • R_3' = R_3 + 2R_1 = (0,\;16,\;52,\;22\;|\;201).
  • 4R_4 = (-84,\;20,\;4,\;4\;|\;32) e 21R_1=(84,\;168,\;210,\;252\;|\;2100). Assim
R_4' = 4R_4 + 21R_1 = (0,\;188,\;214,\;256\;|\;2132).
A matriz após essas operações:
\left(\begin{array}{cccc|c} 4 & 8 & 10 & 12 & 100\\[2pt] 0 & -20 & -50 & -72 & -664\\[2pt] 0 & 16 & 52 & 22 & 201\\[2pt] 0 & 188 & 214 & 256 & 2132 \end{array}\right).]

Passo 4

Para simplificar os cálculos, escalo a segunda linha dividindo-a por -2 (operação permitida: multiplicar por escalar não nulo). Isso deixa números menores e positivos:
R_2 \leftarrow \frac{1}{-2}R_2 \quad\Rightarrow\quad R_2=(0,\;10,\;25,\;36\;|\;332).
Agora a matriz é
\left(\begin{array}{cccc|c} 4 & 8 & 10 & 12 & 100\\[2pt] 0 & 10 & 25 & 36 & 332\\[2pt] 0 & 16 & 52 & 22 & 201\\[2pt] 0 & 188 & 214 & 256 & 2132 \end{array}\right).
Didática: escolher pivôs menores e inteiros ajuda a controlar erros e facilita a eliminação. O pivô atual para a segunda coluna é \,10 (entrada a_{22}).]

Passo 5

Zerar as entradas abaixo do pivô da segunda coluna (coluna 2) usando R_2. Novamente uso combinações inteiras para evitar frações:
  • Para zerar o 16 em R_3: faço R_3 \leftarrow 5R_3 - 8R_2 porque 5\cdot16 - 8\cdot10 = 80 - 80 = 0.
  • Para zerar o 188 em R_4: faço R_4 \leftarrow 10R_4 - 188R_2 porque 10\cdot188 - 188\cdot10 = 0.
Calculemos:
  • 5R_3 = (0,\;80,\;260,\;110\;|\;1005),
    8R_2 = (0,\;80,\;200,\;288\;|\;2656). Então
R_3' = 5R_3 - 8R_2 = (0,\;0,\;60,\;-178\;|\;-1651).
  • 10R_4 = (0,\;1880,\;2140,\;2560\;|\;21320),
    188R_2 = (0,\;1880,\;4700,\;6768\;|\;62416). Então
R_4' = 10R_4 - 188R_2 = (0,\;0,\;-2560,\;-4208\;|\;-41096).
Matriz agora:
\left(\begin{array}{cccc|c} 4 & 8 & 10 & 12 & 100\\[2pt] 0 & 10 & 25 & 36 & 332\\[2pt] 0 & 0 & 60 & -178 & -1651\\[2pt] 0 & 0 & -2560 & -4208 & -41096 \end{array}\right).]

Passo 6

Simplifico a quarta linha dividindo-a por -8 (operações escalares válidas) para tornar os números menores:
R_4 \leftarrow \frac{1}{-8}R_4 \quad\Rightarrow\quad R_4=(0,\;0,\;320,\;526\;|\;5137).
Agora a matriz é
\left(\begin{array}{cccc|c} 4 & 8 & 10 & 12 & 100\\[2pt] 0 & 10 & 25 & 36 & 332\\[2pt] 0 & 0 & 60 & -178 & -1651\\[2pt] 0 & 0 & 320 & 526 & 5137 \end{array}\right).
Comentário didático: queremos uma matriz triangular superior (zeros abaixo da diagonal). Já temos zeros abaixo dos pivôs das colunas 1 e 2; falta zerar abaixo do pivô na coluna 3.]

Passo 7

Zerar a entrada abaixo do pivô da terceira coluna (usar R_3 com pivô 60). Para eliminar o 320 em R_4 eu uso uma combinação inteira conveniente: 3R_4 - 16R_3, porque 3\cdot320 - 16\cdot60 = 960 - 960 = 0.
Calculemos:
  • 3R_4 = (0,\;0,\;960,\;1578\;|\;15411),
  • 16R_3 = (0,\;0,\;960,\;-2848\;|\;-26416).
Então
R_4' = 3R_4 - 16R_3 = (0,\;0,\;0,\;4426\;|\;41827).
Agora a matriz está na forma triangular superior (escalonada):
\left(\begin{array}{cccc|c} 4 & 8 & 10 & 12 & 100\\[2pt] 0 & 10 & 25 & 36 & 332\\[2pt] 0 & 0 & 60 & -178 & -1651\\[2pt] 0 & 0 & 0 & 4426 & 41827 \end{array}\right).]

Passo 8

Agora vem a retro-substituição (resolver de baixo para cima). A última linha representa a equação:
4426\cdot x_{4} = 41827.
Então
x_{4} = \frac{41827}{4426}.
Didática: quando a matriz está triangular, cada linha dá uma equação com uma incógnita nova (ou poucas incógnitas) que já podemos isolar. Aqui x_4 foi isolada diretamente.

Passo 9

Subir uma linha: a terceira linha dá
60\cdot x_{3} - 178\cdot x_{4} = -1651.
Isolando x_3:
x_{3} = \frac{-1651 + 178\cdot x_{4}}{60}.
Substituindo x_{4} = \dfrac{41827}{4426}:
x_{3} = \frac{-1651 + 178\cdot\frac{41827}{4426}}{60} = \frac{137880}{265560}.
Simplificando (dividindo numerador e denominador por 60 e depois por 2):
x_{3} = \frac{1149}{2213}.
Observação didática: fiz a soma com o mesmo denominador (4426), e depois simplifiquei a fração final. É importante manter as contas exatas em fração para evitar perda de precisão.

Passo 10

Agora a segunda linha:
10\cdot x_{2} + 25\cdot x_{3} + 36\cdot x_{4} = 332.
Isolando x_2:
x_{2} = \frac{332 - 25\cdot x_{3} - 36\cdot x_{4}}{10}.
Substituindo x_{3}=\dfrac{1149}{2213} e x_{4}=\dfrac{41827}{4426} (note que \,2213\cdot 2=4426\,, então alinhei denominadores durante o cálculo) e simplificando, obtive:
x_{2} = \frac{-9379}{4426}.
Explicação: converti todos os termos para um denominador comum para fazer as subtrações e depois simplifiquei o resultado por fatores comuns (como 2 e 5 quando apareceram).

Passo 11

Finalmente, a primeira linha fornece x_1:
4\cdot x_{1} + 8\cdot x_{2} + 10\cdot x_{3} + 12\cdot x_{4} = 100.
Isolando x_1:
x_{1} = \frac{100 - 8\cdot x_{2} - 10\cdot x_{3} - 12\cdot x_{4}}{4}.
Substituindo os valores já encontrados e simplificando exatamente (operando em frações com denominador comum), obtive:
x_{1} = \frac{-909}{2213}.

Resposta

\displaystyle x_{1}=-\frac{909}{2213}\
\displaystyle x_{2}=-\frac{9379}{4426}\
\displaystyle x_{3}=\frac{1149}{2213}\
\displaystyle x_{4}=\frac{41827}{4426}

Exercícios relacionados