Aplique o método de eliminação de Gauss para resolver o sistema abaixo:
\left\{\begin{array}{l} -1 \cdot x_{1}-2 \cdot x_{2}-3 \cdot x_{3}=100 \\\\ 4 \cdot x_{1}+5 \cdot x_{2}+6 \cdot x_{3}=200 \\\\ -7 \cdot x_{1}+8 \cdot x_{2}+9 \cdot x_{3}=300 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear abaixo usando o método de eliminação de Gauss:
\left\{\begin{array}{l} -1\cdot x_{1}-2\cdot x_{2}-3\cdot x_{3}=100,\\[4pt] 4\cdot x_{1}+5\cdot x_{2}+6\cdot x_{3}=200,\\[4pt] -7\cdot x_{1}+8\cdot x_{2}+9\cdot x_{3}=300. \end{array}\right.
Informações relevantes dadas:
\begin{aligned} &\text{Equação 1: } -1x_{1}-2x_{2}-3x_{3}=100,\\\ &\text{Equação 2: } 4x_{1}+5x_{2}+6x_{3}=200,\\\ &\text{Equação 3: } -7x_{1}+8x_{2}+9x_{3}=300. \end{aligned}çãçãçã
O objetivo é transformar o sistema por operações elementares de linha em uma forma triangular superior e depois resolver por substituição.]

Passo 2

Primeiro representamos o sistema pela matriz aumentada (cada linha é uma equação, a última coluna são os termos independentes):
\left[\begin{array}{ccc|c} -1 & -2 & -3 & 100\\[4pt] 4 & 5 & 6 & 200\\[4pt] -7 & 8 & 9 & 300 \end{array}\right].
Explicação curta sobre operações permitidas (o que a prova costuma permitir): podemos trocar duas linhas, multiplicar uma linha por um escalar não nulo e somar a um linha um múltiplo de outra linha. Essas operações não mudam o conjunto de soluções.]

Passo 3

Para ter um pivô simples, trocamos a linha 1 com a linha 2 (escolhi o pivô 4 porque ele é maior em módulo que -1, o que costuma reduzir frações):
R_{1}\leftrightarrow R_{2}.
A matriz fica:
\left[\begin{array}{ccc|c} 4 & 5 & 6 & 200\\[4pt] -1 & -2 & -3 & 100\\[4pt] -7 & 8 & 9 & 300 \end{array}\right].]

Passo 4

Eliminamos as entradas abaixo do pivô a_{11}=4 na coluna 1.
Calculamos os fatores
\text{fator para }R_{2}=\frac{a_{21}}{a_{11}}=\frac{-1}{4}=-\tfrac{1}{4},\qquad \text{fator para }R_{3}=\frac{a_{31}}{a_{11}}=\frac{-7}{4}=-\tfrac{7}{4}.
Aplicamos R_{i}\leftarrow R_{i}-\text{fator}\cdot R_{1}.
Para R_{2}:
R_{2}\leftarrow R_{2}-\left(-\tfrac{1}{4}\right)R_{1}=R_{2}+\tfrac{1}{4}R_{1}.
Calculemos componente a componente:
\tfrac{1}{4}R_{1}=\left[\;1,\;\tfrac{5}{4},\;\tfrac{3}{2},\;50\;\right],
R_{2}+\tfrac{1}{4}R_{1}=\left[-1+1,\;-2+\tfrac{5}{4},\;-3+\tfrac{3}{2},\;100+50\right] =\left[0,\;-\tfrac{3}{4},\;-\tfrac{3}{2},\;150\right].
Para R_{3}:
R_{3}\leftarrow R_{3}-\left(-\tfrac{7}{4}\right)R_{1}=R_{3}+\tfrac{7}{4}R_{1}.
Calculemos:
\tfrac{7}{4}R_{1}=\left[7,\;\tfrac{35}{4},\;\tfrac{21}{2},\;350\right],
R_{3}+\tfrac{7}{4}R_{1}=\left[-7+7,\;8+\tfrac{35}{4},\;9+\tfrac{21}{2},\;300+350\right] =\left[0,\;\tfrac{67}{4},\;\tfrac{39}{2},\;650\right].
A matriz após essas operações é
\left[\begin{array}{ccc|c} 4 & 5 & 6 & 200\\[4pt] 0 & -\tfrac{3}{4} & -\tfrac{3}{2} & 150\\[6pt] 0 & \tfrac{67}{4} & \tfrac{39}{2} & 650 \end{array}\right].]

Passo 5

Para evitar frações desagradáveis nas próximas operações, multiplico as linhas 2 e 3 por 4 (isso é uma operação válida: multiplicar uma linha por escalar não nulo):
R_{2}\leftarrow 4R_{2},\qquad R_{3}\leftarrow 4R_{3}.
Então
R_{2}=[0,\,-3,\,-6,\;600],\qquad R_{3}=[0,\;67,\;78,\;2600].
A matriz passa a ser
\left[\begin{array}{ccc|c} 4 & 5 & 6 & 200\\[4pt] 0 & -3 & -6 & 600\\[4pt] 0 & 67 & 78 & 2600 \end{array}\right].]

Passo 6

Agora usamos o pivô a_{22}=-3 para eliminar a entrada a_{32}=67.
O fator é
\text{fator}=\frac{a_{32}}{a_{22}}=\frac{67}{-3}=-\frac{67}{3}.
Aplicamos R_{3}\leftarrow R_{3}-\text{fator}\cdot R_{2}=R_{3}-\left(-\frac{67}{3}\right)R_{2}=R_{3}+\frac{67}{3}R_{2}.
Calculemos \dfrac{67}{3}R_{2}:
\frac{67}{3}R_{2}=\left[0,\;\frac{67}{3}\cdot(-3),\;\frac{67}{3}\cdot(-6),\;\frac{67}{3}\cdot 600\right] =\left[0,\;-67,\;-134,\;13400\right].
Somando a R_{3}:
R_{3}+\frac{67}{3}R_{2}=\left[0+0,\;67-67,\;78-134,\;2600+13400\right] =\left[0,\;0,\;-56,\;16000\right].
Agora a matriz está em forma triangular superior:
\left[\begin{array}{ccc|c} 4 & 5 & 6 & 200\\[4pt] 0 & -3 & -6 & 600\\[4pt] 0 & 0 & -56 & 16000 \end{array}\right].]

Passo 7

Interpretando cada linha como uma equação (após as operações):
\begin{aligned} &\text{(linha 3)}\quad -56x_{3}=16000,\\[4pt] &\text{(linha 2)}\quad -3x_{2}-6x_{3}=600,\\[4pt] &\text{(linha 1)}\quad 4x_{1}+5x_{2}+6x_{3}=200. \end{aligned}
Agora resolvemos por substituição de baixo para cima (back substitution).]

Passo 8

Da linha 3:
-56x_{3}=16000 \quad\Longrightarrow\quad x_{3}=\frac{16000}{-56}=-\frac{16000}{56}.
Simplificando dividindo numerador e denominador por 8:
x_{3}=-\frac{2000}{7}.

Passo 9

Da linha 2:
-3x_{2}-6x_{3}=600 \quad\Longrightarrow\quad -3x_{2}=600+6x_{3}.
Isolando x_{2}:
x_{2}=-\frac{600+6x_{3}}{3}=-200-2x_{3}.
Substituindo x_{3}=-\dfrac{2000}{7}:
x_{2}=-200-2\left(-\frac{2000}{7}\right)=-200+\frac{4000}{7}.
Colocando em denominação comum:
-200=-\frac{1400}{7}\quad\Rightarrow\quad x_{2}=\frac{-1400+4000}{7}=\frac{2600}{7}.

Passo 10

Da linha 1:
4x_{1}+5x_{2}+6x_{3}=200 \quad\Longrightarrow\quad 4x_{1}=200-5x_{2}-6x_{3}.
Substituindo x_{2}=\dfrac{2600}{7} e x_{3}=-\dfrac{2000}{7}:
-5x_{2}=-5\cdot\frac{2600}{7}=-\frac{13000}{7},\qquad -6x_{3}=-6\cdot\left(-\frac{2000}{7}\right)=\frac{12000}{7}.
Somando esses termos:
-5x_{2}-6x_{3}=-\frac{13000}{7}+\frac{12000}{7}=-\frac{1000}{7}.
Então
4x_{1}=200-\frac{1000}{7}=\frac{1400}{7}-\frac{1000}{7}=\frac{400}{7},
logo
x_{1}=\frac{400}{7}\cdot\frac{1}{4}=\frac{100}{7}.

Passo 11

Breve verificação (substituindo nos termos originais) confirma que os valores satisfazem as três equações; por exemplo, na primeira equação:
- x_{1}-2x_{2}-3x_{3}=-\frac{100}{7}-2\cdot\frac{2600}{7}-3\cdot\left(-\frac{2000}{7}\right) =\frac{-100-5200+6000}{7}=\frac{700}{7}=100,
o que bate com o termo independente 100. As outras equações também são satisfeitas (pode verificar do mesmo modo).

Resposta

x_{1}=\dfrac{100}{7}
x_{2}=\dfrac{2600}{7}
x_{3}=-\dfrac{2000}{7}

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