Aplique o método da falsa posição para aproximar as raízes indicadas com erro absoluto menor que
.
(a)
raiz em
(a)
Passo 1
O enunciado pede aplicar o método da falsa posição (regula falsi) para aproximar a raiz de
no intervalo
com erro absoluto menor que
.
Informações dadas:
- Função:
. - Intervalo de busca:
. - Tolerância desejada para o erro absoluto:
. - Observação útil (verificável):
e . Logo há mudança de sinal em e pelo Teorema do Valor Intermediário existe pelo menos uma raiz nesse intervalo.
Passo 2
Explicando o método da falsa posição (de um jeito prático):
- A ideia é manter um intervalo
onde e têm sinais opostos e substituir um dos extremos por um ponto obtido pela intersecção da reta secante que liga e com o eixo . - Fórmula para o ponto de intersecção (aproximação da raiz) — chamada de
:
- Após calcular
avaliamos . Mantemos o subintervalo onde há mudança de sinal: se então a nova raiz está em , senão (se ) está em . - Critério de parada (como não sabemos a raiz exata): vou usar como critério que a diferença entre duas aproximações consecutivas seja menor que a tolerância pedida, isto é, parar quando
. Esse é um critério padrão e corresponde a garantir erro absoluto da aproximação menor que (já que a sequência converge para a raiz).
Passo 3
Avaliações iniciais:
Há mudança de sinal (
,
), então podemos aplicar a falsa posição em
.
Passo 4
Primeira iteração — cálculo de
:
Avaliação:
Como
e
, mantemos o intervalo
para a próxima iteração.
Passo 5
Segunda iteração — cálculo de
com
,
:
Usamos a mesma fórmula:
Usamos a mesma fórmula:
Substituindo numericamente:
Avaliação:
Portanto novo intervalo
.
Passo 6
Terceira iteração — cálculo de
com
,
:
Avaliação:
Novo intervalo
.
Passo 7
Quarta iteração —
:
Avaliação:
Novo intervalo
.
Passo 8
Quinta iteração —
:
Avaliação:
Novo intervalo
.
Passo 9
Sexta iteração —
:
Avaliação:
Novo intervalo
.
Passo 10
Sétima iteração —
:
Avaliação:
Novo intervalo
.
Passo 11
Oitava iteração —
:
Agora calculamos a diferença entre as últimas duas aproximações:
Como a diferença entre aproximações consecutivas já é menor que
, paramos: pelo critério escolhido a aproximação
tem erro absoluto menor que
.
Passo 12
Comentário final pedagógico e incentivo: a falsa posição manteve sempre a propriedade de ter raiz no intervalo e foi aproximando
(o extremo com
) até convergir para a raiz; perceba que
permaneceu em
durante todo o processo porque
era positivo e grande, então a reta secante sempre interseccionou o eixo
próxima ao extremo menor. Esse é o comportamento clássico da regula falsi: pode convergir mais lentamente que métodos que trocam ambos os extremos (como a secante), mas é robusta porque preserva o bracket (o intervalo com mudança de sinal). Vai dar certo na prova — respira, você consegue!