Aplique o método da falsa posição para aproximar as raízes indicadas com erro absoluto menor que 10^{-4}.
(a) f(x)=x^{3}-2 x-5, \quad raiz em [2,3]

Passo 1

O enunciado pede aplicar o método da falsa posição (regula falsi) para aproximar a raiz de f(x)=x^{3}-2x-5 no intervalo [2,3] com erro absoluto menor que 10^{-4}.
Informações dadas:
  • Função: f(x)=x^{3}-2x-5.
  • Intervalo de busca: [a,b]=[2,3].
  • Tolerância desejada para o erro absoluto: 10^{-4}.
  • Observação útil (verificável): f(2)=2^{3}-2\cdot2-5=-1<0 e f(3)=3^{3}-2\cdot3-5=16>0. Logo há mudança de sinal em [2,3] e pelo Teorema do Valor Intermediário existe pelo menos uma raiz nesse intervalo.

Passo 2

Explicando o método da falsa posição (de um jeito prático):
  • A ideia é manter um intervalo [a,b] onde f(a) e f(b) têm sinais opostos e substituir um dos extremos por um ponto c obtido pela intersecção da reta secante que liga (a,f(a)) e (b,f(b)) com o eixo x.
  • Fórmula para o ponto de intersecção (aproximação da raiz) — chamada de c:
c=\frac{a\,f(b)-b\,f(a)}{f(b)-f(a)}.
  • Após calcular c avaliamos f\text{(c)}. Mantemos o subintervalo onde há mudança de sinal: se f(a)\cdot f\text{(c)}<0 então a nova raiz está em [a,c], senão (se f\text{(c)}\cdot f(b)<0) está em [c,b].
  • Critério de parada (como não sabemos a raiz exata): vou usar como critério que a diferença entre duas aproximações consecutivas seja menor que a tolerância pedida, isto é, parar quando |c_{n+1}-c_n|<10^{-4}. Esse é um critério padrão e corresponde a garantir erro absoluto da aproximação menor que 10^{-4} (já que a sequência c_n converge para a raiz).

Passo 3

Avaliações iniciais:
f(2)=2^{3}-2\cdot2-5 = 8-4-5 = -1,
f(3)=3^{3}-2\cdot3-5 =27-6-5 = 16.
Há mudança de sinal ( f(2)<0, f(3)>0), então podemos aplicar a falsa posição em [2,3].

Passo 4

Primeira iteração — cálculo de c_1:
c_1 = \frac{2\cdot f(3) - 3\cdot f(2)}{f(3)-f(2)} = \frac{2\cdot 16 - 3\cdot(-1)}{16-(-1)} = \frac{32+3}{17} = \frac{35}{17} \approx 2{,}0588235294.
Avaliação:
f(c_1)=c_1^{3}-2c_1-5 \approx -0{,}3908\quad(\text{valor negativo}).
Como f(c_1)<0 e f(3)>0, mantemos o intervalo [c_1,\,3] para a próxima iteração.

Passo 5

Segunda iteração — cálculo de c_2 com a=c_1, b=3:
Usamos a mesma fórmula:
c_2=\frac{c_1\cdot f(3)-3\cdot f(c_1)}{f(3)-f(c_1)}.
Substituindo numericamente:
c_2 \approx \frac{2{,}0588235294\cdot 16 - 3\cdot(-0{,}3908)}{16-(-0{,}3908)} \approx 2{,}081217.
Avaliação:
f(c_2)\approx -0{,}147713\quad(\text{ainda negativo}).
Portanto novo intervalo [c_2,\,3].

Passo 6

Terceira iteração — cálculo de c_3 com a=c_2, b=3:
c_3 \approx \frac{2{,}081217\cdot 16 - 3\cdot(-0{,}147713)}{16-(-0{,}147713)} \approx 2{,}089106.
Avaliação:
f(c_3)\approx -0{,}060592\quad(\text{ainda negativo}).
Novo intervalo [c_3,\,3].

Passo 7

Quarta iteração — c_4:
c_4 \approx \frac{2{,}089106\cdot 16 - 3\cdot(-0{,}060592)}{16-(-0{,}060592)} \approx 2{,}091927.
Avaliação:
f(c_4)\approx -0{,}029244\quad(\text{ainda negativo}).
Novo intervalo [c_4,\,3].

Passo 8

Quinta iteração — c_5:
c_5 \approx \frac{2{,}091927\cdot 16 - 3\cdot(-0{,}029244)}{16-(-0{,}029244)} \approx 2{,}093227.
Avaliação:
f(c_5)\approx -0{,}014785\quad(\text{ainda negativo}).
Novo intervalo [c_5,\,3].

Passo 9

Sexta iteração — c_6:
c_6 \approx \frac{2{,}093227\cdot 16 - 3\cdot(-0{,}014785)}{16-(-0{,}014785)} \approx 2{,}094152.
Avaliação:
f(c_6)\approx -0{,}004426\quad(\text{ainda negativo}).
Novo intervalo [c_6,\,3].

Passo 10

Sétima iteração — c_7:
c_7 \approx \frac{2{,}094152\cdot 16 - 3\cdot(-0{,}004426)}{16-(-0{,}004426)} \approx 2{,}094397.
Avaliação:
f(c_7)\approx -0{,}001758\quad(\text{ainda negativo}).
Novo intervalo [c_7,\,3].

Passo 11

Oitava iteração — c_8:
c_8 \approx \frac{2{,}094397\cdot 16 - 3\cdot(-0{,}001758)}{16-(-0{,}001758)} \approx 2{,}094491.
Agora calculamos a diferença entre as últimas duas aproximações:
|c_8-c_7|\approx |2{,}094491-2{,}094397| \approx 0{,}000094 < 10^{-4}.
Como a diferença entre aproximações consecutivas já é menor que 10^{-4}, paramos: pelo critério escolhido a aproximação c_8 tem erro absoluto menor que 10^{-4}.

Passo 12

Comentário final pedagógico e incentivo: a falsa posição manteve sempre a propriedade de ter raiz no intervalo e foi aproximando a (o extremo com f(a)<0) até convergir para a raiz; perceba que b permaneceu em 3 durante todo o processo porque f(b) era positivo e grande, então a reta secante sempre interseccionou o eixo x próxima ao extremo menor. Esse é o comportamento clássico da regula falsi: pode convergir mais lentamente que métodos que trocam ambos os extremos (como a secante), mas é robusta porque preserva o bracket (o intervalo com mudança de sinal). Vai dar certo na prova — respira, você consegue!

Resposta

x\approx 2{,}094491

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