Uma empresa modela o lucro mensal (em milhares de reais) em função do preço unitário p (em reais) pela expressão
L(p)=-2 p^{3}+15 p^{2}-24 p-10
Sabe-se que existe um preço de equilíbrio (lucro nulo) no intervalo [6, 8]. Use o método da bissecção com \varepsilon=10^{-3} para estimar esse preço.

Passo 1

O enunciado nos dá a função lucro (em milhares de reais) em função do preço p (em reais):
L(p)=-2 p^{3}+15 p^{2}-24 p-10.
Diz também que existe um preço de equilíbrio (ou seja, uma raiz p tal que L(p)=0) no intervalo [6,8]. A tarefa é estimar esse preço usando o método da bissecção com tolerância \varepsilon=10^{-3}.

Passo 2

Antes de começar a bissecção é importante lembrar a condição necessária para aplicar o método: a função deve trocar de sinal nas extremidades do intervalo, isto é, devemos ter
L(a)\cdot L(b)<0
para o intervalo [a,b]. Isso garante, pelo Teorema do Valor Intermediário, a existência de pelo menos uma raiz em [a,b].
Vou calcular L(6) e L(8) para checar essa condição (tudo calculado passo a passo):
Calcular L(6):
L(6)=-2\cdot 6^{3}+15\cdot 6^{2}-24\cdot 6-10=-2\cdot 216+15\cdot 36-144-10.
L(6)=-432+540-144-10=108-144-10=-36-10=-46.
Logo L(6)=-46 (negativo).
Calcular L(8):
L(8)=-2\cdot 8^{3}+15\cdot 8^{2}-24\cdot 8-10=-2\cdot 512+15\cdot 64-192-10.
L(8)=-1024+960-192-10=-64-192-10=-256-10=-266.
Logo L(8)=-266 (negativo).
Como L(6) e L(8) são ambos negativos, temos L(6)\cdot L(8)>0. Portanto a condição necessária para aplicar a bissecção em [6,8] NÃO se satisfaz. Em outras palavras, com os dados dados não é possível aplicar corretamente o método da bissecção em [6,8] porque não há troca de sinal nos extremos.
(Se você escreveu que existe uma raiz em [6,8], provavelmente houve um engano no intervalo; obrigado por ter dado a função — com ela eu posso checar onde realmente ocorrem as trocas de sinal.)

Passo 3

Como a bissecção em [6,8] não é possível, vou procurar, avaliando a função em pontos inteiros próximos, um intervalo onde haja troca de sinal (assim posso mostrar como aplicar corretamente o método).
Calcular alguns valores:
L(3)=-2\cdot 27+15\cdot 9-24\cdot 3-10=-54+135-72-10=-1.
Então L(3)=-1 (negativo).
L(4)=-2\cdot 64+15\cdot 16-24\cdot 4-10=-128+240-96-10=6.
Então L(4)=6 (positivo).
L(5)=-2\cdot 125+15\cdot 25-24\cdot 5-10=-250+375-120-10=-5.
Então L(5)=-5 (negativo).
Resumo: há troca de sinal em [3,4] (pois L(3)<0 e L(4)>0) e também em [4,5] (pois L(4)>0 e L(5)<0). Ou seja, existem raízes em ambos esses intervalos. Para ilustrar e executar a bissecção vou escolher o intervalo [4,5] (é curto e contém uma raiz, e isso nos permite aplicar o método pedido).

Passo 4

Explicando o método da bissecção (aula rapidinha e prática):
  • Dado um intervalo [a,b] com L(a)\cdot L(b)<0, define-se o ponto médio
c=\frac{a+b}{2}.
  • Avalia-se L\text{(c)}. Se L\text{(c)}=0 então c é raiz. Se L\text{(c)} tem o mesmo sinal que L(a), então a raiz está em [c,b]; se tem o mesmo sinal que L(b), a raiz está em [a,c]. Em cada iteração a largura do intervalo é reduzida pela metade.
  • Critério de parada: eu escolho o critério usual de erro para bissecção baseado no semi-intervalo: parar quando
\frac{b-a}{2}\le \varepsilon.
Isto garante que o erro absoluto máximo do ponto médio em relação à raiz é no máximo \varepsilon.
Vou aplicar isso com \varepsilon=10^{-3} no intervalo inicial [a_0,b_0]=[4,5]. O comprimento inicial é 1; como cada iteração divide por 2, precisamos de n iterações até (b-a)/2^{n}\le 10^{-3}. Na prática vou realizar as iterações e parar quando (b-a)/2\le 10^{-3}, isto ocorrerá depois de 10 iterações (porque 1/2^{10}=1/1024\approx 0{,}0009766\le 10^{-3}).
Agora faço as iterações, mostrando c, L\text{(c)} (com contas) e o novo intervalo.

Passo 5

Intervalo inicial: a=4, b=5.
Ponto médio:
c_{1}=\frac{4+5}{2}=4{,}5.
Avaliar L(4{,}5):
L(4{,}5)=-2(4{,}5)^{3}+15(4{,}5)^{2}-24(4{,}5)-10.
Cálculo passo a passo:
(4{,}5)^{2}=20{,}25,\quad (4{,}5)^{3}=91{,}125.
L(4{,}5)=-2\cdot 91{,}125 +15\cdot 20{,}25 -108 -10=-182{,}25+303{,}75-118.
L(4{,}5)=3{,}5\\ (\text{positivo}).
Como L(4)=6>0 e L(4{,}5)=3{,}5>0, a raiz está em [4{,}5,\,5]. Update: a=4{,}5,\\ b=5.

Passo 6

c_{2}=\frac{4{,}5+5}{2}=4{,}75.
Avaliar L(4{,}75):
(4{,}75)^{2}=22{,}5625,\quad (4{,}75)^{3}=107{,}171875.
L(4{,}75)=-2\cdot 107{,}171875 +15\cdot 22{,}5625 -24\cdot 4{,}75 -10
=-214{,}34375+338{,}4375-114-10=0{,}09375\\ (\text{positivo, pequeno}).
Como L(4{,}75)>0 e L(5)=-5<0, a raiz está em [4{,}75,\,5]. Update: a=4{,}75,\\ b=5.

Passo 7

c_{3}=\frac{4{,}75+5}{2}=4{,}875.
Avaliar L(4{,}875):
(4{,}875)^{2}=23{,}765625,\quad (4{,}875)^{3}=115{,}857421875.
L(4{,}875)=-2\cdot 115{,}857421875 +15\cdot 23{,}765625 -24\cdot 4{,}875 -10
\approx -231{,}71484375 +356{,}484375 -117 -10 \approx -2{,}23046875\\ (\text{negativo}).
Como L(4{,}875)<0 e L(4{,}75)>0, a raiz está em [4{,}75,\,4{,}875]. Update: a=4{,}75,\\ b=4{,}875.

Passo 8

c_{4}=\frac{4{,}75+4{,}875}{2}=4{,}8125.
Avaliar L(4{,}8125):
(4{,}8125)^{2}=23{,}16015625,\quad (4{,}8125)^{3}=111{,}458251953125.
L(4{,}8125)=-2\cdot 111{,}458251953125+15\cdot 23{,}16015625 -24\cdot 4{,}8125 -10
\approx -222{,}91650390625 +347{,}40234375 -115{,}5 -10 \approx -1{,}01416015625\\ (\text{negativo}).
Logo a raiz está em [4{,}75,\,4{,}8125]. Update: a=4{,}75,\\ b=4{,}8125.

Passo 9

c_{5}=\frac{4{,}75+4{,}8125}{2}=4{,}78125.
Avaliar L(4{,}78125):
(4{,}78125)^{2}=22{,}8603515625,\quad (4{,}78125)^{3}=109{,}301055908203125.
L(4{,}78125)\approx -2\cdot 109{,}301055908203125 +15\cdot 22{,}8603515625 -24\cdot 4{,}78125 -10
\approx -218{,}60211181640625 +342{,}9052734375 -114{,}75 -10 \approx -0{,}44683837890625\\ (\text{negativo}).
Logo a raiz está em [4{,}75,\,4{,}78125]. Update: a=4{,}75,\\ b=4{,}78125.

Passo 10

c_{6}=\frac{4{,}75+4{,}78125}{2}=4{,}765625.
Avaliar L(4{,}765625):
(4{,}765625)^{2}=22{,}711181640625,\quad (4{,}765625)^{3}\approx 108{,}23360031860352.
L(4{,}765625)\approx -2\cdot 108{,}23360031860352+15\cdot 22{,}711181640625-24\cdot 4{,}765625-10
\approx -216{,}46720063720703+340{,}667724609375-114{,}375-10\approx -0{,}17447602783203\\ (\text{negativo}).
Logo a raiz está em [4{,}75,\,4{,}765625]. Update: a=4{,}75,\\ b=4{,}765625.

Passo 11

c_{7}=\frac{4{,}75+4{,}765625}{2}=4{,}7578125.
Avaliar L(4{,}7578125) (cálculo aproximado):
L(4{,}7578125)\approx -0{,}035848421875\\ (\text{negativo, muito próximo de zero}).ó
Como L(4{,}75)=0{,}09375>0 e L(4{,}7578125)<0, a raiz está em [4{,}75,\,4{,}7578125]. Update: a=4{,}75,\\ b=4{,}7578125.

Passo 12

c_{8}=\frac{4{,}75+4{,}7578125}{2}=4{,}75390625.
Avaliar L(4{,}75390625) (cálculo aproximado detalhado):
Usando identidade (4{,}75390625)^{2}=22{,}5996246337890625 e (4{,}75390625)^{3}\approx 107{,}43650343018,
L(4{,}75390625)\approx 0{,}02761264647594\\ (\text{positivo}).
Logo a raiz está em [4{,}75390625,\,4{,}7578125]. Update: a=4{,}75390625,\\ b=4{,}7578125.

Passo 13

c_{9}=\frac{4{,}75390625+4{,}7578125}{2}=4{,}755859375.
Avaliar L(4{,}755859375) (cálculo aproximado via expansão):
L(4{,}755859375)\approx -0{,}00565126\\ (\text{negativo, muito pequeno}).
Como L(4{,}75390625)>0 e L(4{,}755859375)<0, a raiz está em [4{,}75390625,\,4{,}755859375]. Update: a=4{,}75390625,\\ b=4{,}755859375.

Passo 14

Agora o semi-intervalo é
\frac{b-a}{2}=\frac{4{,}755859375-4{,}75390625}{2}=0{,}0009765625\le 10^{-3}.
Portanto o critério \dfrac{b-a}{2}\le\varepsilon com \varepsilon=10^{-3} está satisfeito: podemos parar. O ponto médio desta última iteração é
c_{10}=\frac{4{,}75390625+4{,}755859375}{2}=4{,}7548828125.
Este é o valor estimado da raiz pela bissecção com a tolerância pedida. (Observação: L(4{,}7548828125) é muito próximo de zero, confirmando a estimativa.)

Resposta

p \approx 4,7548828125

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