Uma empresa modela o lucro mensal (em milhares de reais) em função do preço unitário
(em reais) pela expressão
Sabe-se que existe um preço de equilíbrio (lucro nulo) no intervalo [6, 8]. Use o método da bissecção com
para estimar esse preço.
Passo 1
O enunciado nos dá a função lucro (em milhares de reais) em função do preço
(em reais):
Diz também que existe um preço de equilíbrio (ou seja, uma raiz
tal que
) no intervalo
. A tarefa é estimar esse preço usando o método da bissecção com tolerância
.
Passo 2
Antes de começar a bissecção é importante lembrar a condição necessária para aplicar o método: a função deve trocar de sinal nas extremidades do intervalo, isto é, devemos ter
para o intervalo
. Isso garante, pelo Teorema do Valor Intermediário, a existência de pelo menos uma raiz em
.
Vou calcular
e
para checar essa condição (tudo calculado passo a passo):
Calcular
:
Logo
(negativo).
Calcular
:
Logo
(negativo).
Como
e
são ambos negativos, temos
. Portanto a condição necessária para aplicar a bissecção em
NÃO se satisfaz. Em outras palavras, com os dados dados não é possível aplicar corretamente o método da bissecção em
porque não há troca de sinal nos extremos.
(Se você escreveu que existe uma raiz em
, provavelmente houve um engano no intervalo; obrigado por ter dado a função — com ela eu posso checar onde realmente ocorrem as trocas de sinal.)
Passo 3
Como a bissecção em
não é possível, vou procurar, avaliando a função em pontos inteiros próximos, um intervalo onde haja troca de sinal (assim posso mostrar como aplicar corretamente o método).
Calcular alguns valores:
Então
(negativo).
Então
(positivo).
Então
(negativo).
Resumo: há troca de sinal em
(pois
e
) e também em
(pois
e
). Ou seja, existem raízes em ambos esses intervalos. Para ilustrar e executar a bissecção vou escolher o intervalo
(é curto e contém uma raiz, e isso nos permite aplicar o método pedido).
Passo 4
Explicando o método da bissecção (aula rapidinha e prática):
- Dado um intervalo
com , define-se o ponto médio
- Avalia-se
. Se então é raiz. Se tem o mesmo sinal que , então a raiz está em ; se tem o mesmo sinal que , a raiz está em . Em cada iteração a largura do intervalo é reduzida pela metade. - Critério de parada: eu escolho o critério usual de erro para bissecção baseado no semi-intervalo: parar quando
Isto garante que o erro absoluto máximo do ponto médio em relação à raiz é no máximo
.
Vou aplicar isso com
no intervalo inicial
. O comprimento inicial é
; como cada iteração divide por 2, precisamos de
iterações até
. Na prática vou realizar as iterações e parar quando
, isto ocorrerá depois de 10 iterações (porque
).
Agora faço as iterações, mostrando
,
(com contas) e o novo intervalo.
Passo 5
Intervalo inicial:
,
.
Ponto médio:
Ponto médio:
Avaliar
:
Cálculo passo a passo:
Como
e
, a raiz está em
. Update:
.
Passo 6
Avaliar
:
Como
e
, a raiz está em
. Update:
.
Passo 7
Avaliar
:
Como
e
, a raiz está em
. Update:
.
Passo 8
Avaliar
:
Logo a raiz está em
. Update:
.
Passo 9
Avaliar
:
Logo a raiz está em
. Update:
.
Passo 10
Avaliar
:
Logo a raiz está em
. Update:
.
Passo 11
Avaliar
(cálculo aproximado):
Como
e
, a raiz está em
. Update:
.
Passo 12
Avaliar
(cálculo aproximado detalhado):
Usando identidade e
,
Usando identidade
Logo a raiz está em
. Update:
.
Passo 13
Avaliar
(cálculo aproximado via expansão):
Como
e
, a raiz está em
. Update:
.
Passo 14
Agora o semi-intervalo é
Portanto o critério
com
está satisfeito: podemos parar. O ponto médio desta última iteração é
Este é o valor estimado da raiz pela bissecção com a tolerância pedida. (Observação:
é muito próximo de zero, confirmando a estimativa.)