Aplique o método da falsa posição para aproximar as raízes indicadas com erro absoluto menor que
.
(b)
raiz em
(b)
Passo 1
O enunciado pede para aplicar o método da falsa posição (regula falsi) para aproximar a raiz da função
no intervalo
com erro absoluto menor que
.
Informações fornecidas:
- Função:
. - Intervalo inicial:
. - Tolerância de erro absoluto:
.
O que precisamos entregar: um valor aproximado
tal que a aproximação da raiz esteja com erro absoluto menor que
. Vamos usar exclusivamente o método da falsa posição, exibindo cada iteração e explicando as fórmulas usadas.
Passo 2
Breve explicação do método da falsa posição (didática e sem pular etapas).
-
Ideia: dada uma função contínua
com sinais opostos em e ( ), existe pelo menos uma raiz em . Em vez de usar o ponto médio (bissecção), o método da falsa posição desenha a reta secante que passa por e e toma a interseção dessa reta com o eixo como nova aproximação da raiz — isto é, faz interpolação linear entre os extremos do intervalo. -
Fórmula da interseção da secante com o eixo
:
Explicando a fórmula: estamos resolvendo a equação da reta que passa por
e
para a ordenada zero. A expressão acima é a forma algébrica dessa interseção.
-
Critério de atualização do intervalo: após calcular
, calcula-se . Se , a nova raiz está em e substituímos . Se , substituímos . (Se , achamos a raiz exata.) -
Critério de parada prático (usado aqui): aceitaremos a aproximação quando a variação entre duas aproximações sucessivas obtidas pelo método for menor que
. Isso garante que a incerteza na raiz (erro absoluto) seja menor que a tolerância pedida (prática usual em métodos iterativos).
Passo 3
Verificar sinais nos extremos e reduzir o intervalo para acelerar a convergência.
Calcular
e
:
Como
, existe raiz em
.
Para acelerar, avaliamos alguns pontos intermediários para achar um subintervalo menor onde o sinal muda:
Como
e
, há pelo menos uma raiz em
. Usar esse subintervalo acelera a convergência do método da falsa posição, então vamos iniciar as iterações com
e
.
Passo 4
Primeira iteração da falsa posição (com
e
).
Dados:
Aplicando a fórmula
fazendo as contas:
Logo
Avaliar
. Usando expansão/exponenciação:
Resultado:
. Portanto o novo intervalo contendo a raiz é
.
Observação: aqui e nas contas seguintes os valores de
foram aproximados com séries/exponenciação e arredondados quando necessário — mantido número suficiente de casas para garantir que o critério de parada (diferença entre aproximacões) seja confiável até
.
Passo 5
Segunda iteração da falsa posição (com
e
mantido).
Dados agora:
Aplicando a fórmula:
Calcular termos:
Assim
Avaliar
:
ou seja,
é muito próximo de zero (negativo e de ordem
). Note que a expressão acima é uma aproximação numérica; o importante é que o valor residual é muito pequeno.
Comparar as aproximações sucessivas:
que ainda é maior do que a tolerância
. Portanto precisamos de mais uma iteração.
Passo 6
Terceira iteração da falsa posição (com
e
mantido).
Agora:
Aplicando a fórmula novamente:
Cálculo aproximado:
Portanto
Agora a diferença entre iterações é
que é menor que a tolerância
. Assim alcançamos a precisão desejada.
Observação final sobre o critério: como as aproximações sucessivas mudaram menos que
, podemos afirmar que a raiz está aproximada com erro absoluto menor que
. (Alternativamente, o valor de
também é muito pequeno, confirmando a proximidade à raiz.)