Aplique o método da falsa posição para aproximar as raízes indicadas com erro absoluto menor que 10^{-4}.
(b) f(x)=e^{x}-3 x, \quad raiz em [1,2]

Passo 1

O enunciado pede para aplicar o método da falsa posição (regula falsi) para aproximar a raiz da função f(x)=e^{x}-3x no intervalo [1,2] com erro absoluto menor que 10^{-4}.
Informações fornecidas:
  • Função: f(x)=e^{x}-3x.
  • Intervalo inicial: [1,2].
  • Tolerância de erro absoluto: 10^{-4\!}.
O que precisamos entregar: um valor aproximado x^\ast tal que a aproximação da raiz esteja com erro absoluto menor que 10^{-4}. Vamos usar exclusivamente o método da falsa posição, exibindo cada iteração e explicando as fórmulas usadas.

Passo 2

Breve explicação do método da falsa posição (didática e sem pular etapas).
  • Ideia: dada uma função contínua f com sinais opostos em a e b ( f(a)f(b)<0), existe pelo menos uma raiz em [a,b]. Em vez de usar o ponto médio (bissecção), o método da falsa posição desenha a reta secante que passa por (a,f(a)) e (b,f(b)) e toma a interseção dessa reta com o eixo x como nova aproximação da raiz — isto é, faz interpolação linear entre os extremos do intervalo.
  • Fórmula da interseção da secante com o eixo x:
x_{\text{falso}} = \frac{a\,f(b)-b\,f(a)}{f(b)-f(a)}.
Explicando a fórmula: estamos resolvendo a equação da reta que passa por (a,f(a)) e (b,f(b)) para a ordenada zero. A expressão acima é a forma algébrica dessa interseção.
  • Critério de atualização do intervalo: após calcular x_{\text{falso}}, calcula-se f(x_{\text{falso}}). Se f(a)\,f(x_{\text{falso}})<0, a nova raiz está em [a,x_{\text{falso}}] e substituímos b\leftarrow x_{\text{falso}}. Se f(b)\,f(x_{\text{falso}})<0, substituímos a\leftarrow x_{\text{falso}}. (Se f(x_{\text{falso}})=0, achamos a raiz exata.)
  • Critério de parada prático (usado aqui): aceitaremos a aproximação quando a variação entre duas aproximações sucessivas obtidas pelo método for menor que 10^{-4}. Isso garante que a incerteza na raiz (erro absoluto) seja menor que a tolerância pedida (prática usual em métodos iterativos).

Passo 3

Verificar sinais nos extremos e reduzir o intervalo para acelerar a convergência.
Calcular f(1) e f(2):
f(1)=e^{1}-3\cdot1 = e-3 \approx 2{,}718281828459045-3 = -0{,}281718171540955.
f(2)=e^{2}-3\cdot2 = e^{2}-6 \approx 7{,}38905609893065-6 = 1{,}38905609893065.
Como f(1)\cdot f(2)<0, existe raiz em [1,2].
Para acelerar, avaliamos alguns pontos intermediários para achar um subintervalo menor onde o sinal muda:
f(1{,}5)=e^{1{,}5}-3\cdot1{,}5 \approx 4{,}4816890703380645-4{,}5 = -0{,}01831092966193548.
f(1{,}6)=e^{1{,}6}-3\cdot1{,}6 \approx 4{,}953032424395115-4{,}8 = 0{,}153032424395115.
Como f(1{,}5)<0 e f(1{,}6)>0, há pelo menos uma raiz em [1{,}5,1{,}6]. Usar esse subintervalo acelera a convergência do método da falsa posição, então vamos iniciar as iterações com a=1{,}5 e b=1{,}6.

Passo 4

Primeira iteração da falsa posição (com a=1{,}5 e b=1{,}6).
Dados:
a=1{,}5,\quad f(a)\approx -0{,}01831092966193548,
b=1{,}6,\quad f(b)\approx 0{,}153032424395115.
Aplicando a fórmula
x_1=\frac{a\,f(b)-b\,f(a)}{f(b)-f(a)},
fazendo as contas:
a\,f(b)=1{,}5\cdot 0{,}153032424395115 \approx 0{,}2295486365926725,
b\,f(a)=1{,}6\cdot(-0{,}01831092966193548) \approx -0{,}029297487459096768,
\text{numerador}=0{,}2295486365926725 - (-0{,}029297487459096768) \approx 0{,}25884612405176927,
\text{denominador}=f(b)-f(a)\approx 0{,}153032424395115 - (-0{,}01831092966193548) \approx 0{,}17134335405705048.
Logo
x_1 \approx \frac{0{,}25884612405176927}{0{,}17134335405705048} \approx 1{,}510687\\ (\text{arredondado}).
Avaliar f(x_1). Usando expansão/exponenciação:
f(1{,}510687)=e^{1{,}510687}-3\cdot 1{,}510687 \approx 4{,}529842\,-\,4{,}532061 \approx -0{,}002219\\ (\text{aprox.}).
Resultado: f(x_1)<0. Portanto o novo intervalo contendo a raiz é [x_1,b]=[1{,}510687,\,1{,}6].
Observação: aqui e nas contas seguintes os valores de e^{x} foram aproximados com séries/exponenciação e arredondados quando necessário — mantido número suficiente de casas para garantir que o critério de parada (diferença entre aproximacões) seja confiável até 10^{-4}.

Passo 5

Segunda iteração da falsa posição (com a\leftarrow x_1 e b mantido).
Dados agora:
a=1{,}510687,\quad f(a)\approx -0{,}002219,
b=1{,}6,\quad f(b)\approx 0{,}153032424395115.
Aplicando a fórmula:
x_2=\frac{a\,f(b)-b\,f(a)}{f(b)-f(a)}.
Calcular termos:
a\,f(b)\approx 1{,}510687\cdot 0{,}153032424395115 \approx 0{,}231186\\ (\text{aprox.}),
b\,f(a)\approx 1{,}6\cdot (-0{,}002219) \approx -0{,}0035504,
\text{numerador}\approx 0{,}231186 - (-0{,}0035504) \approx 0{,}2347364,
\text{denominador}\approx 0{,}153032424395115 - (-0{,}002219) \approx 0{,}155251424395115.
Assim
x_2 \approx \frac{0{,}2347364}{0{,}155251424395115}\approx 1{,}512135\\ (\text{arredondado}).
Avaliar f(x_2):
f(1{,}512135)=e^{1{,}512135}-3\cdot1{,}512135 \approx 4{,}5363824-4{,}536405 \approx -0{,}0000226\\ (\text{aprox.}),
ou seja, f(x_2) é muito próximo de zero (negativo e de ordem 10^{-5}). Note que a expressão acima é uma aproximação numérica; o importante é que o valor residual é muito pequeno.
Comparar as aproximações sucessivas:
|x_2-x_1|\approx |1{,}512135-1{,}510687|\approx 0{,}001448,
que ainda é maior do que a tolerância 10^{-4}. Portanto precisamos de mais uma iteração.

Passo 6

Terceira iteração da falsa posição (com a\leftarrow x_2 e b mantido).
Agora:
a=1{,}512135,\quad f(a)\approx -2{,}26\times10^{-5},
b=1{,}6,\quad f(b)\approx 0{,}153032424395115.
Aplicando a fórmula novamente:
x_3=\frac{a\,f(b)-b\,f(a)}{f(b)-f(a)}.
Cálculo aproximado:
a\,f(b)\approx 1{,}512135\cdot0{,}153032424395115 \approx 0{,}2314056,
b\,f(a)\approx 1{,}6\cdot(-2{,}26\times10^{-5})\approx -3{,}616\times10^{-5},
\text{numerador}\approx 0{,}2314056 - (-3{,}616\times10^{-5}) \approx 0{,}2314418,
\text{denominador}\approx 0{,}153032424395115 - (-2{,}26\times10^{-5}) \approx 0{,}1530540.
Portanto
x_3 \approx \frac{0{,}2314418}{0{,}1530540}\approx 1{,}512135\\ (\text{arredondado}).
Agora a diferença entre iterações é
|x_3-x_2|\approx \text{algo da ordem }5\times10^{-6},
que é menor que a tolerância 10^{-4}. Assim alcançamos a precisão desejada.
Observação final sobre o critério: como as aproximações sucessivas mudaram menos que 10^{-4}, podemos afirmar que a raiz está aproximada com erro absoluto menor que 10^{-4}. (Alternativamente, o valor de f(x_3) também é muito pequeno, confirmando a proximidade à raiz.)

Resposta

x\approx 1{,}512135

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