Aplique o método da bissecção à função f(x)=x-2^{-x} no intervalo [ 0,1 ]. Quantas iterações são necessárias para atingir erro absoluto menor que 10^{-5} ? Compare com a estimativa teórica n>\log _{2}\left(\frac{b-a}{\varepsilon}\right)-1.

Passo 1

O enunciado nos dá:
  • A função f(x)=x-2^{-x}.
  • O intervalo inicial [a,b]=[0,1].
  • A tolerância (erro absoluto desejado) \varepsilon=10^{-5}.
O que é pedido:
  1. Determinar quantas iterações do método da bissecção são necessárias para garantir erro absoluto menor que \varepsilon.
  2. Comparar com a estimativa teórica n>\log_{2}\!\left(\dfrac{b-a}{\varepsilon}\right)-1.

Passo 2

Verificar que existe raiz em [0,1] (condição para aplicar bissecção):
  • Calcular f(0):
f(0)=0-2^{0}= -1.
  • Calcular f(1):
f(1)=1-2^{-1}=1-\tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{2}>0.
Como f(0)\cdot f(1)=-1\cdot\tfrac{1}{2}<0, há uma raiz em [0,1]. Portanto o método da bissecção é aplicável.

Passo 3

Explicar o método da bissecção e a fórmula de erro (aula curta e didática):
  • Ideia do método: em cada iteração toma-se o ponto médio m do intervalo atual [a_k,b_k] e substitui-se o ponto extremo que tem mesmo sinal de f(m). Assim o comprimento do intervalo é reduzido pela metade a cada iteração.
  • Se o comprimento inicial é L_0=b-a, após n iterações o comprimento do intervalo obtido é no máximo
L_n=\frac{L_0}{2^{n}}.
  • Se o aproximante elegido for o ponto médio m_n do intervalo após n iterações, a distância entre m_n e a raiz real x^* fica no máximo metade do comprimento do intervalo:
|m_n-x^*|\le \frac{L_n}{2}=\frac{L_0}{2^{n+1}}.
  • Portanto, para garantir erro absoluto menor que \varepsilon é suficiente exigir
\frac{L_0}{2^{n+1}}<\varepsilon.
Aqui L_0=b-a, n é número de iterações (inteiro não-negativo) e \varepsilon é a tolerância desejada.

Passo 4

Aplicar a fórmula de erro ao nosso caso:
  • Temos L_0=b-a=1-0=1. A condição \dfrac{L_0}{2^{n+1}}<\varepsilon fica
\frac{1}{2^{n+1}}<10^{-5}.
  • Tomando \log_{2} dos dois lados:
n+1>\log_{2}\!\left(10^{5}\right).
  • Usando mudança de base para calcular numericamente:
\log_{2}\!(10^{5})=\frac{\log_{10}(10^{5})}{\log_{10}(2)}=\frac{5}{\log_{10}(2)}.
Numericamente, com \log_{10}(2)\approx0{,}30103,
\log_{2}\!(10^{5})\approx\frac{5}{0{,}30103}\approx16{,}6096.
Logo
n+1>16{,}6096\quad\Rightarrow\quad n>15{,}6096.
Como n deve ser inteiro, o menor n que satisfaz é n=16.

Passo 5

Verificação por comparação de potências (checando n=15 e n=16):
  • Para n=15:
\frac{1}{2^{15+1}}=\frac{1}{2^{16}}=\frac{1}{65536}\approx1{,}5259\times10^{-5}>10^{-5},
portanto n=15 não é suficiente.
  • Para n=16:
\frac{1}{2^{16+1}}=\frac{1}{2^{17}}=\frac{1}{131072}\approx7{,}6294\times10^{-6}<10^{-5},
portanto n=16 já garante o erro pedido.

Passo 6

Comparação com a estimativa teórica dada:
  • A estimativa teórica fornecida no enunciado é
n>\log_{2}\!\left(\frac{b-a}{\varepsilon}\right)-1.
Substituindo b-a=1 e \varepsilon=10^{-5} obtém-se exatamente o cálculo do Passo 4 que levou a n>15{,}6096, portanto o menor inteiro n dado pela estimativa é n=16.
  • Conclusão: a estimativa teórica coincide com o resultado obtido pelo uso direto da fórmula de erro do método da bissecção; são necessárias 16 iterações para garantir erro absoluto menor que 10^{-5}.

Resposta

Número de iterações necessárias: 16
Resultado da estimativa teórica n>\log_{2}\!\left(\dfrac{b-a}{\varepsilon}\right)-1: n>15{,}6096, portanto n=16 (inteiro mínimo).

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