Aplique o método da bissecção à função
no intervalo [ 0,1 ]. Quantas iterações são necessárias para atingir erro absoluto menor que
? Compare com a estimativa teórica
.
Passo 1
O enunciado nos dá:
- A função
. - O intervalo inicial
. - A tolerância (erro absoluto desejado)
.
O que é pedido:
- Determinar quantas iterações do método da bissecção são necessárias para garantir erro absoluto menor que
. - Comparar com a estimativa teórica
.
Passo 2
Verificar que existe raiz em
(condição para aplicar bissecção):
- Calcular
:
- Calcular
:
Como
, há uma raiz em
. Portanto o método da bissecção é aplicável.
Passo 3
Explicar o método da bissecção e a fórmula de erro (aula curta e didática):
- Ideia do método: em cada iteração toma-se o ponto médio
do intervalo atual e substitui-se o ponto extremo que tem mesmo sinal de . Assim o comprimento do intervalo é reduzido pela metade a cada iteração. - Se o comprimento inicial é
, após iterações o comprimento do intervalo obtido é no máximo
- Se o aproximante elegido for o ponto médio
do intervalo após iterações, a distância entre e a raiz real fica no máximo metade do comprimento do intervalo:
- Portanto, para garantir erro absoluto menor que
é suficiente exigir
Aqui
,
é número de iterações (inteiro não-negativo) e
é a tolerância desejada.
Passo 4
Aplicar a fórmula de erro ao nosso caso:
- Temos
. A condição fica
- Tomando
dos dois lados:
- Usando mudança de base para calcular numericamente:
Numericamente, com
,
Logo
Como
deve ser inteiro, o menor
que satisfaz é
.
Passo 5
Verificação por comparação de potências (checando
e
):
- Para
:
portanto
não é suficiente.
- Para
:
portanto
já garante o erro pedido.
Passo 6
Comparação com a estimativa teórica dada:
- A estimativa teórica fornecida no enunciado é
Substituindo
e
obtém-se exatamente o cálculo do Passo 4 que levou a
, portanto o menor inteiro
dado pela estimativa é
.
- Conclusão: a estimativa teórica coincide com o resultado obtido pelo uso direto da fórmula de erro do método da bissecção; são necessárias
iterações para garantir erro absoluto menor que .
Resposta
Número de iterações necessárias:
Resultado da estimativa teórica :
, portanto
(inteiro mínimo).
Resultado da estimativa teórica