Compare o método da bissecção e o da falsa posição para encontrar a raiz de
no intervalo
. Construa uma tabela com as aproximações de cada método a cada iteração e discuta qual converge mais rapidamente para
.
Passo 1
O enunciado pede comparar dois métodos numéricos (bissecção e falsa posição) para achar a raiz de
no intervalo
. As perguntas implícitas são:
- Construir uma tabela com as aproximações obtidas por cada método em cada iteração.
- Usar
como critério de precisão e decidir qual método converge mais rapidamente.
Informações dadas e condições iniciais (tiradas diretamente do enunciado):
- Função:
. - Intervalo inicial:
. - Tolerância:
. - Observação útil inicial (calcular sinais nas extremidades):
e . Portanto há pelo menos uma raiz em (mudança de sinal).
Passo 2
Breve aula prática sobre os métodos (fórmulas, por que funcionam e critério de parada).
Bissecção
- Ideia: se
e têm sinais opostos, a cada iteração se toma o ponto médio
avaliando
. Mantém-se o subintervalo onde ocorre a troca de sinal. Após
iterações o comprimento do intervalo é
e a aproximação
tem erro (distância máxima até a raiz verdadeira) menor que
.
- Critério prático aqui: parar quando o erro garantido
. Com e , precisa-se de tal que , isto é (fica explícito nas próximas contas).
Falsa posição (regula falsi)
- Ideia: em vez de usar o ponto médio, aproxima a curva por uma reta que passa por
e e toma a interseção dessa reta com o eixo . A fórmula do ponto aproximado é
- Depois avalia-se
e mantém-se o subintervalo com mudança de sinal, exatamente como na bissecção. - A vantagem potencial: quando a função é quase linear no intervalo, a interseção da secante costuma estar mais próxima da raiz do que o ponto médio, então a convergência pode ser mais rápida; porém em algumas funções a falsa posição pode “trav ar” um dos extremos e convergir lentamente na prática — é algo que vamos verificar numericamente aqui.
Critério de parada usado na prática para comparar: aceitaremos uma aproximação
como atingindo a precisão
se uma destas condições ocorrer:
- (a) o erro garantido do método (intervalo metade) ficar
(usado para bissecção); ou - (b)
(usado aqui para falsa posição, porque regula falsi não reduz necessariamente o intervalo de forma uniforme). Vou também controlar o comprimento do intervalo quando aplicável para comparar de forma justa.
Passo 3
Aplicação do método da bissecção passo a passo (vou mostrar em cada iteração o par
, o ponto médio
e o sinal de
; isso constrói a tabela pedida para a bissecção).
Começando com
e
,
.
Iterações da bissecção (cada linha: iteração
,
,
, observação sobre
):
-
k=1:
, . (negativo). Mantém-se subintervalo com sinal trocado: . -
k=2:
, . (positivo). Novo intervalo: . -
k=3:
, . (positivo). Novo intervalo: . -
k=4:
, . (negativo). Novo intervalo: . -
k=5:
, . (positivo). Novo intervalo: . -
k=6:
, . (negativo). Novo intervalo: . -
k=7:
, . (negativo). Novo intervalo: . -
k=8:
, . (positivo). Novo intervalo: . -
k=9:
, . (negativo). Novo intervalo: . -
k=10:
, . (positivo). Novo intervalo: . -
k=11:
, . (positivo). Novo intervalo: . -
k=12:
, . Estimando por interpolação dos sinais imediatos, é negativo e pequeno (entre e ). -
k=13:
, . é um número pequeno negativo (ordem ). -
k=14:
, . é pequeno e de sinal positivo (ordem ). -
k=15:
, . é muito próximo de zero (ordem a ). -
k=16:
, . Este tem erro garantido (meia largura do intervalo) menor que : metade do comprimento atual é . Portanto a bissecção atinge o critério de erro garantido em 16 iterações.
Observação: para a tabela pedida, as aproximações do método da bissecção por iteração são exatamente os valores
listados acima.
Passo 4
Aplicação do método da falsa posição passo a passo (vou mostrar o cálculo da fórmula e os
obtidos em cada iteração, com
aproximado para ver a convergência).
Lembrete da fórmula de uma iteração (com
e
tendo sinais opostos):
Começando com
,
;
,
.
Iterações (cada linha mostra
e uma avaliação aproximada de
):
- k=1:
Avaliação:
(positivo). Novo intervalo:
.
- k=2:
Avaliação:
(positivo). Novo intervalo:
.
- k=3:
Avaliação:
(positivo). Novo intervalo:
.
- k=4:
Avaliação:
(positivo). Novo intervalo:
.
- k=5:
Avaliação:
(positivo). Novo intervalo:
.
- k=6:
Avaliação: com cálculo mais fino
, ou seja
.
Portanto a falsa posição atinge em 6 iterações.
Portanto a falsa posição atinge
Importante: observe que a falsa posição reduziu rapidamente o erro e, já na sexta iteração, obteve um
tal que
. A bissecção necessitou de 16 iterações para garantir erro absoluto pelo critério de meio-intervalo.
Passo 5
Construção organizada das duas tabelas pedidas (apenas as aproximações por iteração). Vou listar, para cada iteração
, a aproximação do método da bissecção
e a aproximação da falsa posição
(quando aplicável). Os números foram obtidos e aproximados nas iterações detalhadas acima.
Tabela — Método da bissecção (aproximações
):
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
(critério de erro garantido satisfeito: metade do comprimento do intervalo ).
Tabela — Método da falsa posição (aproximações
):
-
, -
, -
, -
, -
, -
, (critério satisfeito).
Passo 6
Discussão e comparação dos resultados (por que um convergiu mais rápido e implicações práticas).
-
Velocidade observada: a falsa posição alcançou uma aproximação com
em apenas 6 iterações; a bissecção precisa de 16 iterações para garantir a precisão pelo critério de meio-intervalo. Portanto, na prática, para esta função e intervalo, a falsa posição convergiu mais rapidamente. -
Por que isso aconteceu? Intuitivamente,
é relativamente suave e a reta secante entre os extremos tende a interceptar o eixo muito próximo da raiz real. Assim, a falsa posição aproveitou informação sobre a inclinação local e “saltou” para perto da raiz. A bissecção sempre reduz o intervalo pela metade independentemente da forma de , logo tem convergência linear com razão fixa por iteração (predizível e robusta, porém às vezes mais lenta). -
Observação prática sobre critérios: a bissecção dá um controle rígido do erro (intervalo conhecido), enquanto a falsa posição dá
pequeno (good indicator de proximidade quando não tem gradiente muito pequeno na raiz). Em problemas onde pequeno não garante aproximação em por problemas de condicionamento (derivada muito próxima de zero), convém checar ambos os critérios. Aqui a derivada não é nula na raiz, então pequeno indica de fato proximidade de . -
Conclusão prática: para este problema particular, a falsa posição foi claramente mais eficiente (menor número de iterações para atingir a tolerância dada). A bissecção, embora confiável, exigiu mais iterações por ser “agnóstica” quanto à inclinação de
.
Resposta
Bissecção: raiz aproximada
obtida em
iterações (erro garantido <
).
Falsa posição: raiz aproximada obtida em
iterações (aqui
).
Falsa posição: raiz aproximada