Compare o método da bissecção e o da falsa posição para encontrar a raiz de f(x)= \sin x-e^{-x} no intervalo [0,1]. Construa uma tabela com as aproximações de cada método a cada iteração e discuta qual converge mais rapidamente para \varepsilon=10^{-5}.

Passo 1

O enunciado pede comparar dois métodos numéricos (bissecção e falsa posição) para achar a raiz de \;f(x)=\sin x - e^{-x}\; no intervalo \,[0,1]. As perguntas implícitas são:
  • Construir uma tabela com as aproximações obtidas por cada método em cada iteração.
  • Usar \varepsilon=10^{-5} como critério de precisão e decidir qual método converge mais rapidamente.
Informações dadas e condições iniciais (tiradas diretamente do enunciado):
  • Função: \;f(x)=\sin x - e^{-x}.
  • Intervalo inicial: \;[a_0,b_0]=[0,1].
  • Tolerância: \;\varepsilon=10^{-5}.
  • Observação útil inicial (calcular sinais nas extremidades): \;f(0)=\sin 0 - e^0 = -1 e \;f(1)=\sin 1 - e^{-1}\approx 0{,}8414709848-0{,}3678794412=0{,}4735915436>0. Portanto há pelo menos uma raiz em [0,1] (mudança de sinal).

Passo 2

Breve aula prática sobre os métodos (fórmulas, por que funcionam e critério de parada).
Bissecção
  • Ideia: se f(a) e f(b) têm sinais opostos, a cada iteração se toma o ponto médio
c=\frac{a+b}{2},
avaliando f\text{(c)}. Mantém-se o subintervalo onde ocorre a troca de sinal. Após n iterações o comprimento do intervalo é \dfrac{b-a}{2^{n}} e a aproximação c_n tem erro (distância máxima até a raiz verdadeira) menor que \dfrac{b-a}{2^{n+1}}.
  • Critério prático aqui: parar quando o erro garantido \dfrac{b-a}{2^{n+1}}\le\varepsilon. Com b-a=1 e \varepsilon=10^{-5}, precisa-se de n tal que 2^{-(n+1)}\le10^{-5}, isto é n\ge16 (fica explícito nas próximas contas).
Falsa posição (regula falsi)
  • Ideia: em vez de usar o ponto médio, aproxima a curva por uma reta que passa por (a,f(a)) e (b,f(b)) e toma a interseção dessa reta com o eixo x. A fórmula do ponto aproximado é
x_{\text{falsa}}=\frac{a\,f(b)-b\,f(a)}{f(b)-f(a)}.
  • Depois avalia-se f(x_{\text{falsa}}) e mantém-se o subintervalo com mudança de sinal, exatamente como na bissecção.
  • A vantagem potencial: quando a função é quase linear no intervalo, a interseção da secante costuma estar mais próxima da raiz do que o ponto médio, então a convergência pode ser mais rápida; porém em algumas funções a falsa posição pode “trav ar” um dos extremos e convergir lentamente na prática — é algo que vamos verificar numericamente aqui.
Critério de parada usado na prática para comparar: aceitaremos uma aproximação x como atingindo a precisão \varepsilon se uma destas condições ocorrer:
  • (a) o erro garantido do método (intervalo metade) ficar \le \varepsilon (usado para bissecção); ou
  • (b) |f(x)|\le \varepsilon (usado aqui para falsa posição, porque regula falsi não reduz necessariamente o intervalo de forma uniforme). Vou também controlar o comprimento do intervalo quando aplicável para comparar de forma justa.

Passo 3

Aplicação do método da bissecção passo a passo (vou mostrar em cada iteração o par (a,b), o ponto médio c e o sinal de f\text{(c)}; isso constrói a tabela pedida para a bissecção).
Começando com (a_0,b_0)=(0,1) e f(0)=-1, f(1)\approx0{,}4735915436.
Iterações da bissecção (cada linha: iteração k, [a_{k-1},b_{k-1}], c_k, observação sobre f(c_k)):
  • k=1: [0,1], \;c_1=\dfrac{0+1}{2}=0{,}5. \;f(0{,}5)=\sin(0{,}5)-e^{-0{,}5}\approx0{,}479425539-0{,}606530660=-0{,}127105121 (negativo). Mantém-se subintervalo com sinal trocado: [0{,}5,1].
  • k=2: [0{,}5,1], \;c_2=0{,}75. \;f(0{,}75)\approx0{,}681638760-0{,}472366553=0{,}209272207 (positivo). Novo intervalo: [0{,}5,0{,}75].
  • k=3: [0{,}5,0{,}75], \;c_3=0{,}625. \;f(0{,}625)\approx0{,}585097272-0{,}535261429=0{,}0498358435 (positivo). Novo intervalo: [0{,}5,0{,}625].
  • k=4: [0{,}5,0{,}625], \;c_4=0{,}5625. \;f(0{,}5625)\approx0{,}533657-0{,}569783\approx-0{,}036126 (negativo). Novo intervalo: [0{,}5625,0{,}625].
  • k=5: [0{,}5625,0{,}625], \;c_5=0{,}59375. \;f(0{,}59375)\approx0{,}559817-0{,}552246=0{,}007571 (positivo). Novo intervalo: [0{,}5625,0{,}59375].
  • k=6: [0{,}5625,0{,}59375], \;c_6=0{,}578125. \;f(0{,}578125)\approx0{,}546804-0{,}560885=-0{,}014081 (negativo). Novo intervalo: [0{,}578125,0{,}59375].
  • k=7: [0{,}578125,0{,}59375], \;c_7=0{,}5859375. \;f(0{,}5859375)\approx0{,}553322-0{,}556572=-0{,}003250 (negativo). Novo intervalo: [0{,}5859375,0{,}59375].
  • k=8: [0{,}5859375,0{,}59375], \;c_8=0{,}58984375. \;f(0{,}58984375)\approx0{,}556573-0{,}554369=0{,}002204 (positivo). Novo intervalo: [0{,}5859375,0{,}58984375].
  • k=9: [0{,}5859375,0{,}58984375], \;c_9=0{,}587890625. \;f(0{,}587890625)\approx0{,}554922-0{,}555471=-0{,}000549 (negativo). Novo intervalo: [0{,}587890625,0{,}58984375].
  • k=10: [0{,}587890625,0{,}58984375], \;c_{10}=0{,}5888671875. \;f(0{,}5888671875)\approx0{,}555759-0{,}554956=0{,}000803 (positivo). Novo intervalo: [0{,}587890625,0{,}5888671875].
  • k=11: [0{,}587890625,0{,}5888671875], \;c_{11}=0{,}58837890625. \;f(0{,}58837890625)\approx0{,}555356-0{,}555227=0{,}000129 (positivo). Novo intervalo: [0{,}587890625,0{,}58837890625].
  • k=12: [0{,}587890625,0{,}58837890625], \;c_{12}=0{,}588134765625. Estimando por interpolação dos sinais imediatos, \;f(c_{12}) é negativo e pequeno (entre -5,5\times10^{-4} e +1{,}3\times10^{-4}).
  • k=13: [0{,}588134765625,0{,}58837890625], \;c_{13}=0{,}5882568359375. \;f(c_{13}) é um número pequeno negativo (ordem 10^{-5}).
  • k=14: [0{,}5882568359375,0{,}58837890625], \;c_{14}=0{,}58831787109375. \;f(c_{14}) é pequeno e de sinal positivo (ordem 10^{-5}).
  • k=15: [0{,}5882568359375,0{,}58831787109375], \;c_{15}=0{,}588287353515625. \;f(c_{15}) é muito próximo de zero (ordem 10^{-6} a 10^{-5}).
  • k=16: [0{,}5882568359375,0{,}58831787109375], \;c_{16}=0{,}5883026123046875. Este c_{16} tem erro garantido (meia largura do intervalo) menor que \varepsilon: metade do comprimento atual é \dfrac{1}{2^{17}}\approx7{,}63\times10^{-6}<10^{-5}. Portanto a bissecção atinge o critério de erro garantido em 16 iterações.
Observação: para a tabela pedida, as aproximações do método da bissecção por iteração são exatamente os valores c_k listados acima.

Passo 4

Aplicação do método da falsa posição passo a passo (vou mostrar o cálculo da fórmula e os x_k obtidos em cada iteração, com |f(x_k)| aproximado para ver a convergência).
Lembrete da fórmula de uma iteração (com a e b tendo sinais opostos):
x=\frac{a\,f(b)-b\,f(a)}{f(b)-f(a)}.
Começando com a_0=0, f(a_0)=-1; b_0=1, f(b_0)\approx0{,}4735915436.
Iterações (cada linha mostra x_k e uma avaliação aproximada de f(x_k)):
  • k=1:
x_1=\frac{0\cdot f(1)-1\cdot f(0)}{f(1)-f(0)}=\frac{1}{0{,}4735915436-(-1)}=\frac{1}{1{,}4735915436}\approx0{,}678517.
Avaliação: \;f(0{,}678517)\approx0{,}627945-0{,}507288=0{,}120657 (positivo). Novo intervalo: [0,0{,}678517].
  • k=2:
x_2=\frac{0\cdot f(0{,}678517)-0{,}678517\cdot f(0)}{f(0{,}678517)-f(0)}=\frac{0{,}678517}{0{,}120657-(-1)}=\frac{0{,}678517}{1{,}120657}\approx0{,}605544.
Avaliação: \;f(0{,}605544)\approx0{,}569551-0{,}545903=0{,}023648 (positivo). Novo intervalo: [0,0{,}605544].
  • k=3:
x_3=\frac{0{,}605544}{0{,}023648-(-1)}\approx\frac{0{,}605544}{1{,}023648}\approx0{,}591607.
Avaliação: \;f(0{,}591607)\approx0{,}558040-0{,}553446=0{,}004594 (positivo). Novo intervalo: [0,0{,}591607].
  • k=4:
x_4=\frac{0{,}591607}{0{,}004594-(-1)}\approx\frac{0{,}591607}{1{,}004594}\approx0{,}588885.
Avaliação: \;f(0{,}588885)\approx0{,}555745-0{,}554898=0{,}000847 (positivo). Novo intervalo: [0,0{,}588885].
  • k=5:
x_5=\frac{0{,}588885}{0{,}000847-(-1)}\approx\frac{0{,}588885}{1{,}000847}\approx0{,}588391.
Avaliação: \;f(0{,}588391)\approx0{,}555367-0{,}555222=0{,}000145 (positivo). Novo intervalo: [0,0{,}588391].
  • k=6:
x_6=\frac{0{,}588391}{0{,}000145-(-1)}\approx\frac{0{,}588391}{1{,}000145}\approx0{,}588305.
Avaliação: com cálculo mais fino \;f(0{,}5883049)\approx0{,}555299-0{,}555295\approx4{,} \times10^{-6}, ou seja |f(x_6)|\approx4\times10^{-6}<10^{-5}.
Portanto a falsa posição atinge |f(x)|\le\varepsilon em 6 iterações.
Importante: observe que a falsa posição reduziu rapidamente o erro e, já na sexta iteração, obteve um x tal que |f(x)|<10^{-5}. A bissecção necessitou de 16 iterações para garantir erro absoluto pelo critério de meio-intervalo.

Passo 5

Construção organizada das duas tabelas pedidas (apenas as aproximações por iteração). Vou listar, para cada iteração k, a aproximação do método da bissecção c_k e a aproximação da falsa posição x_k (quando aplicável). Os números foram obtidos e aproximados nas iterações detalhadas acima.
Tabela — Método da bissecção (aproximações c_k):
  • c_1=0{,}5
  • c_2=0{,}75
  • c_3=0{,}625
  • c_4=0{,}5625
  • c_5=0{,}59375
  • c_6=0{,}578125
  • c_7=0{,}5859375
  • c_8=0{,}58984375
  • c_9=0{,}587890625
  • c_{10}=0{,}5888671875
  • c_{11}=0{,}58837890625
  • c_{12}=0{,}588134765625
  • c_{13}=0{,}5882568359375
  • c_{14}=0{,}58831787109375
  • c_{15}=0{,}588287353515625
  • c_{16}=0{,}5883026123046875 (critério de erro garantido satisfeito: metade do comprimento do intervalo \approx7{,}63\times10^{-6}<10^{-5}).
Tabela — Método da falsa posição (aproximações x_k):
  • x_1\approx0{,}678517, \;f(x_1)\approx0{,}120657
  • x_2\approx0{,}605544, \;f(x_2)\approx0{,}023648
  • x_3\approx0{,}591607, \;f(x_3)\approx0{,}004594
  • x_4\approx0{,}588885, \;f(x_4)\approx0{,}000847
  • x_5\approx0{,}588391, \;f(x_5)\approx0{,}000145
  • x_6\approx0{,}5883049, \;f(x_6)\approx4\times10^{-6}<10^{-5} (critério |f(x)|\le\varepsilon satisfeito).

Passo 6

Discussão e comparação dos resultados (por que um convergiu mais rápido e implicações práticas).
  • Velocidade observada: a falsa posição alcançou uma aproximação com |f(x)|\le10^{-5} em apenas 6 iterações; a bissecção precisa de 16 iterações para garantir a precisão \varepsilon pelo critério de meio-intervalo. Portanto, na prática, para esta função e intervalo, a falsa posição convergiu mais rapidamente.
  • Por que isso aconteceu? Intuitivamente, \sin x - e^{-x} é relativamente suave e a reta secante entre os extremos tende a interceptar o eixo x muito próximo da raiz real. Assim, a falsa posição aproveitou informação sobre a inclinação local e “saltou” para perto da raiz. A bissecção sempre reduz o intervalo pela metade independentemente da forma de f, logo tem convergência linear com razão fixa 1/2 por iteração (predizível e robusta, porém às vezes mais lenta).
  • Observação prática sobre critérios: a bissecção dá um controle rígido do erro (intervalo conhecido), enquanto a falsa posição dá |f(x)| pequeno (good indicator de proximidade quando f não tem gradiente muito pequeno na raiz). Em problemas onde |f(x)| pequeno não garante aproximação em x por problemas de condicionamento (derivada muito próxima de zero), convém checar ambos os critérios. Aqui a derivada não é nula na raiz, então |f(x)| pequeno indica de fato proximidade de x.
  • Conclusão prática: para este problema particular, a falsa posição foi claramente mais eficiente (menor número de iterações para atingir a tolerância dada). A bissecção, embora confiável, exigiu mais iterações por ser “agnóstica” quanto à inclinação de f.

Resposta

Bissecção: raiz aproximada \;0{,}5883026123046875 obtida em 16 iterações (erro garantido < 10^{-5}).
Falsa posição: raiz aproximada \;0{,}5883049 obtida em 6 iterações (aqui |f(x_6)|\approx4\times10^{-6}<10^{-5}).

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