Aplique o método de Gauss-Jacobi para resolver os sistemas abaixo, usando a aproximação inicial X^(0)=(0, ldots, 0). Faça 3 iterações.
l-4 x1+2 x2=-6 3 x1-5 x2=1
l4 x1+x2+x3=7 x1-7 x2+2 x3=-2 3 x1+4 x3=11
l10 x1+x2+x3+x4+x5+x6=9 x1+10 x2+x3+x4+x5+x6=18 x1+x2+10 x3+x4+x5+x6=27 x1+x2+x3+10 x4+x5+x6=-27 x1+x2+x3+x4+10 x5+x6=-18 x1+x2+x3+x4+x5+10 x6=-9

Passo 1

Estamos usando o método de Gauss–Jacobi, que em cada iteração isola cada variável na sua equação e usa só valores da iteração anterior. A aproximação inicial é
X^(0) = (0,dots,0)
e faremos três iterações em cada um dos três sistemas fornecidos.

Passo 2

Para o primeiro sistema
-4x1+2x2=-6, 3x1-5x2=1,
isolamos x1 e x2:
x1^(k+1) =-6-2,x2^(k)-4 =1,5+0,5,x2^(k),
x2^(k+1) =1-3,x1^(k)-5 =-0,2+0,6,x1^(k)

Passo 3

Aplicando as fórmulas acima com X^(0)=(0,0):
X^(1):; x1^(1)=1,5+0,5cdot0=1,5, x2^(1)=-0,2+0,6cdot0=-0,2;
X^(2):; x1^(2)=1,5+0,5cdot(-0,2)=1,4, x2^(2)=-0,2+0,6cdot1,5=0,7;
X^(3):; x1^(3)=1,5+0,5cdot0,7=1,85, x2^(3)=-0,2+0,6cdot1,4=0,64

Passo 4

Para o segundo sistema
4x1+x2+x3=7, x1-7x2+2x3=-2, 3x1+4x3=11,
isolamos:
x1^(k+1) =7 - x2^(k) - x3^(k)4 =1,75 - 0,25,x2^(k) - 0,25,x3^(k),
x2^(k+1) =-2 - x1^(k) -2,x3^(k)-7 =0,2857 +0,1429,x1^(k) +0,2857,x3^(k),
x3^(k+1) =11 -3,x1^(k)4 =2,75 -0,75,x1^(k)

Passo 5

Com X^(0)=(0,0,0):
X^(1)=(1,75,;0,2857,;2,75),
X^(2)approx(0,9911,;1,3214,;1,4375),
X^(3)approx(1,0602,;0,8380,;2,0066)

Passo 6

Para o terceiro sistema de seis equações
10xi+sumjneq ixj=bi, b=(9,18,27,-27,-18,-9),
a fórmula de Jacobi é, para i=1,dots,6:
xi^(k+1) =bi-sumjneq ixj^(k)10

Passo 7

Com X^(0)=(0,0,0,0,0,0):
X^(1)=(0,9,;1,8,;2,7,;-2,7,;-1,8,;-0,9),
X^(2)approx(0,99,;1,98,;2,97,;-2,97,;-1,98,;-0,99),
X^(3)approx(0,999,;1,998,;2,997,;-2,997,;-1,998,;-0,999)

Resposta

Sistema 1 após 3 iterações:
X^(3)approx(1,85,;0,64)
Sistema 2 após 3 iterações:
X^(3)approx(1,0602,;0,8380,;2,0066)
Sistema 3 após 3 iterações:
X^(3)approx(0,999,;1,998,;2,997,;-2,997,;-1,998,;-0,999)

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