Resolva fatorando a matriz A associada ao sistema como P A=L U.
lx1+x2+x3=10 3 x1-4 x2+1 x3=12 2 x1+x2-4 x3=18

Passo 1

O sistema dado é
A matriz de coeficientes é
e o vetor dos termos independentes é . Vamos fatorar com pivoteamento parcial como e depois resolver por substituições.

Passo 2

Escolhemos como pivô na coluna 1 o maior valor em módulo, que é |3| na segunda linha. Então permutamos a linha 1 com a linha 2, definindo
P= 0 & 1 & 0 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 , P,A= 3 & -4 & 1 1 & 1 & 1 2 & 1 & -4 , P, b= 121018

Passo 3

Aplicamos eliminação de Gauss em P,A, armazenando os multiplicadores em L. Após zerar abaixo de a11=3 e depois abaixo de u22, obtemos
L= 1 & 0 & 0 tfrac13 & 1 & 0 tfrac23 & tfrac117 & 1 , U= 3 & -4 & 1 0 & tfrac73 & tfrac23 0 & 0 & -tfrac407 ,
de modo que P,A=L,U.

Passo 4

Agora resolvemos L, y=P, b por substituição direta:
y1=12, y2=10-tfrac13cdot12=6, y3=18-tfrac23cdot12-tfrac117cdot6=tfrac47

Passo 5

Em seguida resolvemos U, x= y por substituição reversa:
-tfrac407x3=tfrac47implies x3=-tfrac110, tfrac73x2+tfrac23x3=6implies x2=tfrac135, 3x1-4x2+x3=12implies x1=tfrac152

Resposta

P =
0 & 1 & 0 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 ,
L =
1 & 0 & 0 tfrac13 & 1 & 0 tfrac23 & tfrac117 & 1 ,
U =
3 & -4 & 1 0 & tfrac73 & tfrac23 0 & 0 & -tfrac407 ,
e a solução é
(x1,x2,x3)=l(tfrac152,tfrac135,-tfrac110r)

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