Resolva o sistema não-linear pelo método de Newton. Use X^(0)=(0.5 ; 0.5 ; 0.5) como chute inicial. Faça 3 iterações e calcule o erro absoluto.
lx^2+y^2+z^2=1 3 x^2-4 y+z^2=0 2 x^2+y^2-4 z=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver pelo método de Newton o sistema
x^2+y^2+z^2=1, 3x^2-4y+z^2=0, 2x^2+y^2-4z=0,
a partir do chute inicial ,X^(0)=(0,5,0,5,0,5), executando três iterações até obter X^(3). No final, vamos calcular o erro absoluto entre as duas últimas aproximações |X^(3)-X^(2)|.

Passo 2

Definimos a função vetor
f(X)= x^2+y^2+z^2-1[6pt] 3x^2-4y+z^2[6pt] 2x^2+y^2-4z
e sua jacobiana
J(X)= 2x & 2y & 2z[4pt] 6x & -4 & 2z[4pt] 4x & 2y & -4
No método de Newton resolvemos em cada passo o sistema
Jl(X^(k)r),s^(k)=-,fl(X^(k)r),
e atualizamos
X^(k+1)=X^(k)+s^(k) ]

Passo 3

Iteração k=0 com X^(0)=(0,5,0,5,0,5):
Calculamos
fl(X^(0)r)= -0,25[3pt] -1[3pt] -1,25 , Jl(X^(0)r)= 1 & 1 & 1[3pt] 3 & -4 & 1[3pt] 2 & 1 & -4
Resolvendo
Jl(X^(0)r),s^(0)=-fl(X^(0)r)
obtemos
s^(0)=0,375[3pt]0[3pt]-0,125,
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X^(1)=X^(0)+s^(0)=l(0,875,,0,5,,0,375r) ]

Passo 4

Iteração k=1 com X^(1)=(0,875,0,5,0,375):
fl(X^(1)r)= 0,15625[3pt] 0,4375[3pt] 0,28125 , Jl(X^(1)r)= 1,75 & 1 & 0,75[3pt] 5,25 & -4 & 0,75[3pt] 3,5 & 1 & -4
Resolvendo
Jl(X^(1)r),s^(1)=-fl(X^(1)r)
achamos
s^(1)approx -0,0858165[3pt] -0,0022710[3pt] -0,0050676 ,
portanto
X^(2)=X^(1)+s^(1)approx l(0,7891835,,0,4977290,,0,3699324r) ]

Passo 5

Iteração k=2 com X^(2)approx(0,7891835,0,4977290,0,3699324):
fl(X^(2)r)approx 0,007364[3pt] 0,014280[3pt] 0,013574 , Jl(X^(2)r)approx 1,578367 & 0,995458 & 0,739865[3pt] 4,735101 & -4 & 0,739865[3pt] 3,156734 & 0,995458 & -4
Resolvendo
Jl(X^(2)r),s^(2)=-fl(X^(2)r)
obtivemos
s^(2)approx -0,0039586[3pt] -0,0011167[3pt] -0,0000075 ,
então
X^(3)=X^(2)+s^(2)approx l(0,7852249,,0,4966123,,0,3699249r) ]

Passo 6

O erro absoluto usando a norma infinita é
|X^(3)-X^(2)|infty =maxl(|-0,0039586|,|-!0,0011167|,|-!0,0000075|r) approx0,00396

Resposta

X^(3)approx(0,7852249,,0,4966123,,0,3699249) com erro absoluto approx0,00396.

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