Aplique o método da iteração de ponto fixo para encontrar a raiz da função
no intervalo
, com função de iteração
, ponto inicial
, e tolerância
. Verifique as hipóteses que garantem a convergência do método.
Passo 1
O que o enunciado pede e os dados que nos foram dados.
- Função cuja raiz queremos:
. - Função de iteração dada:
. - Intervalo considerado:
. - Ponto inicial:
. - Critério de parada:
com .
Perguntas explícitas:
- Aplicar o método da iteração de ponto fixo
até que e apresentar a aproximação da raiz. - Verificar as hipóteses que garantem a convergência do método no intervalo dado.
Passo 2
O método da iteração de ponto fixo — ideia e relação com a raiz de
.
- Uma solução de
é um ponto tal que , isto é, é uma solução da equação fixa com . Logo raízes de equivalem a pontos fixos de . - O método constrói a sequência
começando em
. Se
for um contratante em
(ver definição abaixo), a sequência converge para o único ponto fixo
.
- Definição prática (teorema do ponto fixo contraente): se
é contínua em , e existe tal que para todo , então tem exatamente um ponto fixo em e, para qualquer , a iteração converge linearmente para esse ponto fixo com constante de contracção . - Variáveis:
será a solução (ponto fixo), é a constante tal que .
Passo 3
Verificar se
mapeia
em si mesmo (primeira hipótese).
Calcular os extremos:
Portanto, para
temos
, que está contido em
. Conclusão:
.
(Observação: aqui usei os valores de
nos extremos do intervalo, que foram obtidos avaliando a expressão de
em
e
.)
Passo 4
Verificar o critério de contratilidade via derivada (segunda hipótese).
Calcular a derivada de
:
Tomando valor absoluto,
No intervalo
temos
, logo
Como
, existe
que satisfaz
. Portanto
é um contratante em
.
Conclusões desta verificação:
-
é contínua e diferenciável em . -
. -
.
Pelo teorema do ponto fixo contraente, existe um único ponto fixoe a iteração converge para para qualquer . Assim as hipóteses de convergência estão satisfeitas.
Passo 5
Preparar a iteração e a condição de parada. Fórmulas usadas.
- Iteração:
. - Função alvo:
. Em cada iteração calcularemos e verificaremos se . - Observação útil: numericamente é conveniente lembrar que
(multiplicando a definição de por 3), o que simplifica alguns cálculos repetidos.
Passo 6
Iteração 0 → 1: calcular
e
.
Calcular
:
Avaliação numérica (usando
):
Como
, não atingimos a tolerância; prosseguimos.
Passo 7
Iteração 1 → 2: calcular
e
.
Calcular
. Usando a observação anterior
, temos
Avaliação numérica (usando
):
Como
, ainda não alcançamos a tolerância.
Passo 8
Iteração 2 → 3: calcular
e
.
Calcular
. Podemos usar
, então
Avaliação numérica (usando
):
Agora
. Portanto a condição de parada está satisfeita no passo
.
Passo 9
Interpretação do resultado e observações sobre a velocidade de convergência.
- A sequência produziu
, , e parou em porque . - Como
é contratante com constante , a convergência é linear com razão aproximadamente : aproximadamente a cada iteração o erro em relação ao ponto fixo é reduzido por um fator próximo de . - Há um único ponto fixo
que é a raiz procurada; nossa aproximação final está próxima desse .
Resposta
As hipóteses de convergência estão satisfeitas: