Aplique o método da iteração de ponto fixo para encontrar a raiz da função f(x)=3 x-\exp (-x) no intervalo [0,1], com função de iteração g(x)=\frac{1}{3} \exp (-x), ponto inicial x_{0}=0,0, e tolerância \left|f\left(x_{n}\right)\right|<\varepsilon=2 \times 10^{-2}. Verifique as hipóteses que garantem a convergência do método.

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados que nos foram dados.
  • Função cuja raiz queremos: f(x)=3x-\exp(-x).
  • Função de iteração dada: g(x)=\dfrac{1}{3}\exp(-x).
  • Intervalo considerado: [0,1].
  • Ponto inicial: x_{0}=0,0.
  • Critério de parada: \left|f\left(x_{n}\right)\right|<\varepsilon com \varepsilon=2\times10^{-2}.
Perguntas explícitas:
  1. Aplicar o método da iteração de ponto fixo x_{n+1}=g(x_n) até que \left|f(x_n)\right|<2\times10^{-2} e apresentar a aproximação da raiz.
  2. Verificar as hipóteses que garantem a convergência do método no intervalo dado.

Passo 2

O método da iteração de ponto fixo — ideia e relação com a raiz de f.
  • Uma solução de f(x)=0 é um ponto x tal que 3x=\exp(-x), isto é, é uma solução da equação fixa x=g(x) com g(x)=\dfrac{1}{3}\exp(-x). Logo raízes de f equivalem a pontos fixos de g.
  • O método constrói a sequência
x_{n+1}=g(x_n),
começando em x_0. Se g for um contratante em [a,b] (ver definição abaixo), a sequência converge para o único ponto fixo \alpha\in[a,b].
  • Definição prática (teorema do ponto fixo contraente): se g é contínua em [a,b], g([a,b])\subseteq[a,b] e existe k\in[0,1) tal que |g'(x)|\le k para todo x\in[a,b], então g tem exatamente um ponto fixo em [a,b] e, para qualquer x_0\in[a,b], a iteração converge linearmente para esse ponto fixo com constante de contracção k.
  • Variáveis: \alpha será a solução (ponto fixo), k é a constante tal que |g'(x)|\le k<1.

Passo 3

Verificar se g mapeia [0,1] em si mesmo (primeira hipótese).
Calcular os extremos:
g(0)=\dfrac{1}{3}\exp(0)=\dfrac{1}{3}\approx0,333333, \qquad g(1)=\dfrac{1}{3}\exp(-1)=\dfrac{1}{3e}\approx0,122626.
Portanto, para x\in[0,1] temos g(x)\in[\,g(1),g(0)\,]=[0,122626\ldots,0,333333\ldots], que está contido em [0,1]. Conclusão: g([0,1])\subseteq[0,1].
(Observação: aqui usei os valores de g nos extremos do intervalo, que foram obtidos avaliando a expressão de g em x=0 e x=1.)

Passo 4

Verificar o critério de contratilidade via derivada (segunda hipótese).
Calcular a derivada de g:
g'(x)=-\dfrac{1}{3}\exp(-x).
Tomando valor absoluto,
|g'(x)|=\dfrac{1}{3}\exp(-x).
No intervalo [0,1] temos \exp(-x)\le\exp(0)=1, logo
|g'(x)|\le\dfrac{1}{3}\quad\text{para todo }x\in[0,1].
Como \dfrac{1}{3}<1, existe k=\dfrac{1}{3} que satisfaz |g'(x)|\le k<1. Portanto g é um contratante em [0,1].
Conclusões desta verificação:
  • g é contínua e diferenciável em [0,1].
  • g([0,1])\subseteq[0,1].
  • |g'(x)|\le k=\tfrac{1}{3}<1.
    Pelo teorema do ponto fixo contraente, existe um único ponto fixo \alpha\in[0,1] e a iteração converge para \alpha para qualquer x_0\in[0,1]. Assim as hipóteses de convergência estão satisfeitas.

Passo 5

Preparar a iteração e a condição de parada. Fórmulas usadas.
  • Iteração: x_{n+1}=g(x_n)=\dfrac{1}{3}\exp(-x_n).
  • Função alvo: f(x)=3x-\exp(-x). Em cada iteração calcularemos f(x_n) e verificaremos se |f(x_n)|<\varepsilon=0,02.
  • Observação útil: numericamente é conveniente lembrar que 3x_{n+1}=\exp(-x_n) (multiplicando a definição de x_{n+1} por 3), o que simplifica alguns cálculos repetidos.

Passo 6

Iteração 0 → 1: calcular x_1 e |f(x_1)|.
x_{0}=0,0, \qquad x_{1}=g(x_0)=\dfrac{1}{3}\exp(0)=\dfrac{1}{3}\approx0,333333.
Calcular f(x_1):
f(x_1)=3x_1-\exp(-x_1)=1-\exp\bigl(-\tfrac{1}{3}\bigr).
Avaliação numérica (usando \exp(-\tfrac{1}{3})\approx0,7165313106):
f(x_1)\approx1-0,7165313106=0,2834686894.
Como |f(x_1)|\approx0,28347>0,02, não atingimos a tolerância; prosseguimos.

Passo 7

Iteração 1 → 2: calcular x_2 e |f(x_2)|.
x_{2}=g(x_1)=\dfrac{1}{3}\exp(-x_1)=\dfrac{1}{3}\exp\bigl(-\tfrac{1}{3}\bigr)\approx\dfrac{1}{3}\times0,7165313106\approx0,2388437702.
Calcular f(x_2). Usando a observação anterior 3x_2=\exp(-x_1), temos
f(x_2)=3x_2-\exp(-x_2)=\exp(-x_1)-\exp(-x_2).
Avaliação numérica (usando \exp(-x_2)\approx\exp(-0,2388437702)\approx0,7875431299):
f(x_2)\approx0,7165313106-0,7875431299\approx-0,0710118193.
Como |f(x_2)|\approx0,07101>0,02, ainda não alcançamos a tolerância.

Passo 8

Iteração 2 → 3: calcular x_3 e |f(x_3)|.
x_{3}=g(x_2)=\dfrac{1}{3}\exp(-x_2)\approx\dfrac{1}{3}\times0,7875431299\approx0,2625143766.
Calcular f(x_3). Podemos usar 3x_3=\exp(-x_2), então
f(x_3)=3x_3-\exp(-x_3)=\exp(-x_2)-\exp(-x_3).
Avaliação numérica (usando \exp(-x_3)\approx\exp(-0,2625143766)\approx0,7691239586):
f(x_3)\approx0,7875431299-0,7691239586\approx0,0184191713.
Agora |f(x_3)|\approx0,01842<0,02. Portanto a condição de parada está satisfeita no passo n=3.

Passo 9

Interpretação do resultado e observações sobre a velocidade de convergência.
  • A sequência produziu x_1\approx0,333333, x_2\approx0,238844, x_3\approx0,262514 e parou em x_3 porque |f(x_3)|<0,02.
  • Como g é contratante com constante k=\tfrac{1}{3}, a convergência é linear com razão aproximadamente k: aproximadamente a cada iteração o erro em relação ao ponto fixo é reduzido por um fator próximo de \tfrac{1}{3}.
  • Há um único ponto fixo \alpha\in[0,1] que é a raiz procurada; nossa aproximação final está próxima desse \alpha.

Resposta

x\approx0,2625143766 (obtido em n=3 iterações, pois |f(x_3)|\approx0,01842<0,02).
As hipóteses de convergência estão satisfeitas: g([0,1])\subset[0,1] e |g'(x)|=\dfrac{1}{3}\exp(-x)\le\dfrac{1}{3}<1 em [0,1], logo g é um contratante (convergência garantida).

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