Usando o método da posição falsa, encontre a raiz da função
no intervalo
, com tolerância
.
Passo 1
O enunciado pede que eu encontre, usando o método da posição falsa, uma aproximação da raiz da função
no intervalo
tal que a condição de parada seja
com
.
Informações dadas:
- A função é
. - Intervalo inicial:
. - Tolerância no critério de parada:
. - Critério de parada:
.
O que preciso entregar:
- Uma aproximação
obtida pelo método da posição falsa tal que .
Passo 2
Explicando didaticamente o método da posição falsa (regula falsi) — ideia e fórmula.
-
Ideia: temos um intervalo
com e de sinais opostos (logo existe pelo menos uma raiz nesse intervalo). Em vez de usar o ponto médio (bissecção), o método da posição falsa usa a reta secante que liga e e toma a interseção dessa reta com o eixo como próxima aproximação da raiz. Como a nova aproximação fica entre e e preserva o bracket (sinal oposto), o método garante que a raiz permaneça no intervalo. -
Fórmula da posição falsa (obtida pela equação da reta que passa pelos dois pontos):
Aqui:
-
e são as extremidades atuais do intervalo com ; -
e são os valores da função nesses pontos; -
é o ponto onde a secante cruza o eixo . -
Regra de atualização do intervalo:
- Se
, então a raiz está em e atualizo . - Caso contrário (ou seja, se
), a raiz está em e atualizo .
- Se
-
Critério de parada aqui é baseado no valor da função: paro quando
.
Vou aplicar essa fórmula iterativamente, calculando também
em cada passo, e atualizando
ou
conforme o sinal de
.
Passo 3
Preparação inicial: calcular
e
para
.
- Calcular
:
- Calcular
:
Como
e
, há mudança de sinal e podemos aplicar a posição falsa.
Passo 4
Iteração 1: calcular
pela posição falsa usando
,
.
Fórmula:
Substituindo os valores:
Observe que isso simplifica para
Agora calculo
:
Usando
e
, obtém-se
Verificação do critério:
, então não é suficiente.
Atualização do intervalo:
e
, logo o novo intervalo é
.
Passo 5
Iteração 2: usar
,
.
Aplicando a fórmula:
Substituindo
,
e
:
Cálculo:
Calcular
:
Com
,
Verificação:
. Atualizo o intervalo:
e
então novo intervalo
.
Passo 6
Iteração 3: usar
,
.
Fórmula:
Aqui
. Calculos intermediários:
Produto:
Logo
Calcular
:
Com
,
Verificação:
. Atualizo o intervalo:
e
então novo intervalo
.
Passo 7
Iteração 4: usar
,
.
Fórmula:
Com
. Cálculos:
Logo
Calcular
:
Para
tem-se
(cálculo por expansão ou tabela), então
Agora
. Portanto a condição de parada foi satisfeita nesta iteração.
Passo 8
Interpretação final e número de iterações:
- A aproximação obtida pelo método da posição falsa que satisfaz
é . - Foram necessárias 4 iterações (computando
) para alcançar a tolerância pedida. - Observação prática: o método conserva o bracket e usa a secante, por isso converge aqui rapidamente até o critério absoluto sobre
.