Usando o método da posição falsa, encontre a raiz da função f(x)=x \exp (x)-1 no intervalo [0,1], com tolerância \left|f\left(x_{n}\right)\right|<\varepsilon=2 \times 10^{-2}.

Passo 1

O enunciado pede que eu encontre, usando o método da posição falsa, uma aproximação da raiz da função f(x)=x\exp(x)-1 no intervalo [0,1] tal que a condição de parada seja \left|f\left(x_{n}\right)\right|<\varepsilon com \varepsilon=2\times10^{-2}.
Informações dadas:
  • A função é f(x)=x\exp(x)-1.
  • Intervalo inicial: [a,b]=[0,1].
  • Tolerância no critério de parada: \varepsilon=2\times10^{-2}.
  • Critério de parada: \left|f\left(x_{n}\right)\right|<\varepsilon.
O que preciso entregar:
  • Uma aproximação x_n obtida pelo método da posição falsa tal que \left|f\left(x_n\right)\right|<2\times10^{-2}.

Passo 2

Explicando didaticamente o método da posição falsa (regula falsi) — ideia e fórmula.
  • Ideia: temos um intervalo [a,b] com f(a) e f(b) de sinais opostos (logo existe pelo menos uma raiz nesse intervalo). Em vez de usar o ponto médio (bissecção), o método da posição falsa usa a reta secante que liga (a,f(a)) e (b,f(b)) e toma a interseção dessa reta com o eixo x como próxima aproximação da raiz. Como a nova aproximação fica entre a e b e preserva o bracket (sinal oposto), o método garante que a raiz permaneça no intervalo.
  • Fórmula da posição falsa (obtida pela equação da reta que passa pelos dois pontos):
x_{\text{novo}} = b - f(b)\,\frac{b-a}{f(b)-f(a)}.
Aqui:
  • a e b são as extremidades atuais do intervalo com f(a)\cdot f(b)<0;
  • f(a) e f(b) são os valores da função nesses pontos;
  • x_{\text{novo}} é o ponto onde a secante cruza o eixo x.
  • Regra de atualização do intervalo:
    • Se f(a)\cdot f(x_{\text{novo}}) < 0, então a raiz está em [a,x_{\text{novo}}] e atualizo b \leftarrow x_{\text{novo}}.
    • Caso contrário (ou seja, se f(x_{\text{novo}})\cdot f(b) < 0), a raiz está em [x_{\text{novo}},b] e atualizo a \leftarrow x_{\text{novo}}.
  • Critério de parada aqui é baseado no valor da função: paro quando \left|f\left(x_{\text{novo}}\right)\right|<\varepsilon.
Vou aplicar essa fórmula iterativamente, calculando também f(x_{\text{novo}}) em cada passo, e atualizando a ou b conforme o sinal de f(x_{\text{novo}}).

Passo 3

Preparação inicial: calcular f(a) e f(b) para [a,b]=[0,1].
  • Calcular f(0):
f(0) = 0\cdot\exp(0)-1 = -1.
  • Calcular f(1):
f(1) = 1\cdot\exp(1)-1 = \exp(1)-1 \approx 2{,}718281828-1 = 1{,}718281828.
Como f(0)=-1 e f(1)\approx1{,}7183, há mudança de sinal e podemos aplicar a posição falsa.

Passo 4

Iteração 1: calcular x_1 pela posição falsa usando a=0, b=1.
Fórmula:
x_1 = 1 - f(1)\,\frac{1-0}{f(1)-f(0)}.
Substituindo os valores:
x_1 = 1 - \frac{\exp(1)-1}{(\exp(1)-1)-(-1)} = 1 - \frac{\exp(1)-1}{\exp(1)}.
Observe que isso simplifica para
x_1 = 1 - \left(1 - \frac{1}{\exp(1)}\right) = \frac{1}{\exp(1)} \approx 0{,}3678794412.
Agora calculo f(x_1):
f(x_1)=x_1\exp(x_1)-1.
Usando x_1\approx0{,}3678794412 e \exp(x_1)\approx\exp(0{,}3678794412)\approx1{,}444667, obtém-se
f(x_1)\approx0{,}3678794412\times1{,}444667 -1 \approx 0{,}531463 -1 = -0{,}468537.
Verificação do critério: \left|f(x_1)\right|\approx0{,}468537>0{,}02, então não é suficiente.
Atualização do intervalo: f(x_1)<0 e f(1)>0, logo o novo intervalo é [a,b]=[x_1,1]=[0{,}3678794412,1].

Passo 5

Iteração 2: usar a=0{,}3678794412, b=1.
Aplicando a fórmula:
x_2 = 1 - f(1)\,\frac{1-a}{f(1)-f(a)}.
Substituindo f(1)\approx1{,}718281828, a\approx0{,}3678794412 e f(a)=f(x_1)\approx-0{,}468537:
b-a = 1-0{,}3678794412 = 0{,}6321205588,
f(1)-f(a) \approx 1{,}718281828 - (-0{,}468537) \approx 2{,}186818828.
Cálculo:
x_2 \approx 1 - \frac{1{,}718281828\times0{,}6321205588}{2{,}186818828} \approx 1 - 0{,}4969031 \approx 0{,}5030969.
Calcular f(x_2):
f(x_2)=x_2\exp(x_2)-1.
Com \exp(0{,}5030969)\approx1{,}653831,
f(x_2)\approx0{,}5030969\times1{,}653831 -1 \approx 0{,}8320355 -1 = -0{,}1679645.
Verificação: \left|f(x_2)\right|\approx0{,}1679645>0{,}02. Atualizo o intervalo: f(x_2)<0 e f(1)>0 então novo intervalo [a,b]=[0{,}5030969,1].

Passo 6

Iteração 3: usar a=0{,}5030969, b=1.
Fórmula:
x_3 = 1 - f(1)\,\frac{1-a}{f(1)-f(a)}.
Aqui f(a)=f(x_2)\approx-0{,}1679645. Calculos intermediários:
b-a = 1-0{,}5030969 = 0{,}4969031,
f(1)-f(a) \approx 1{,}718281828 - (-0{,}1679645) \approx 1{,}886246328.
Produto:
f(1)\,(b-a) \approx 1{,}718281828\times0{,}4969031 \approx 0{,}853818.
Logo
x_3 \approx 1 - \frac{0{,}853818}{1{,}886246328} \approx 1 - 0{,}452612 \approx 0{,}547388.
Calcular f(x_3):
f(x_3)=x_3\exp(x_3)-1.
Com \exp(0{,}547388)\approx1{,}727999,
f(x_3)\approx0{,}547388\times1{,}727999 -1 \approx 0{,}94583 -1 = -0{,}05417.
Verificação: \left|f(x_3)\right|\approx0{,}05417>0{,}02. Atualizo o intervalo: f(x_3)<0 e f(1)>0 então novo intervalo [a,b]=[0{,}547388,1].

Passo 7

Iteração 4: usar a=0{,}547388, b=1.
Fórmula:
x_4 = 1 - f(1)\,\frac{1-a}{f(1)-f(a)}.
Com f(a)=f(x_3)\approx-0{,}05417. Cálculos:
b-a = 1-0{,}547388 = 0{,}452612,
f(1)-f(a) \approx 1{,}718281828 - (-0{,}05417) \approx 1{,}772451828,
f(1)\,(b-a) \approx 1{,}718281828\times0{,}452612 \approx 0{,}776715.
Logo
x_4 \approx 1 - \frac{0{,}776715}{1{,}772451828} \approx 1 - 0{,}438439 \approx 0{,}561561.
Calcular f(x_4):
f(x_4)=x_4\exp(x_4)-1.
Para x_4\approx0{,}561561 tem-se \exp(0{,}561561)\approx1{,}753387 (cálculo por expansão ou tabela), então
f(x_4)\approx0{,}561561\times1{,}753387 -1 \approx 0{,}984635 -1 = -0{,}015365.
Agora \left|f(x_4)\right|\approx0{,}015365 < 0{,}02. Portanto a condição de parada foi satisfeita nesta iteração.

Passo 8

Interpretação final e número de iterações:
  • A aproximação obtida pelo método da posição falsa que satisfaz \left|f(x_n)\right|<2\times10^{-2} é x_4\approx0{,}561561.
  • Foram necessárias 4 iterações (computando x_1,x_2,x_3,x_4) para alcançar a tolerância pedida.
  • Observação prática: o método conserva o bracket e usa a secante, por isso converge aqui rapidamente até o critério absoluto sobre f(x).

Resposta

x \approx 0,561561

Exercícios relacionados