Use o método de Newton para encontrar a raiz da função
no intervalo
, com ponto inicial
e tolerância
.
Passo 1
O enunciado pede para usar o método de Newton para encontrar a raiz da função
no intervalo
, com ponto inicial
e critério de parada
.
Informações dadas (retiradas do enunciado):
- Função:
. - Intervalo considerado:
(a raiz procurada está nesse intervalo). - Ponto inicial:
. - Tolerância:
. - Critério de parada: parar quando
.
Passo 2
Apresentar o método que vamos usar (fórmula e ideia):
- O método de Newton (ou de Newton–Raphson) gera uma sequência
pela fórmula
- Intuição rápida: aproximamos a curva por sua reta tangente em
e tomamos a interseção dessa reta com o eixo como novo ponto . Quando estamos perto da raiz, a convergência é quadrática, ou seja, melhora muito rápido. - Critério de parada escolhido aqui:
. Isso significa que aceitaremos como raiz quando o valor absoluto da função estiver abaixo de .
Passo 3
Calcular a derivada e escrever as expressões específicas para nossa função:
- Para
temos
- Assim a iteração de Newton fica
Podemos simplificar a fração quando conveniente, mas vamos calcular explicitamente passo a passo.
Passo 4
Iteração
:
-
. - Calcular
e :
- Aplicando Newton:
- Verificar o critério (ainda não satisfeito):
que é maior que
. Então continuamos.
Passo 5
Iteração
:
-
. - Calcular
e (já calculado o acima):
- Correção
:
- Logo
- Avaliar
:
ainda maior que
. Continuamos.
Passo 6
Iteração
:
-
. - Calcular
:
- A correção é
Fazendo simplificações (dividindo numerador e denominador por fatores comuns) obtém-se
- Então
- Avaliar
numericamente (usando a potência):
- Comparar com a tolerância:
. Portanto o critério de parada está satisfeito em .
Passo 7
Conclusão prática e dica para a prova:
- Chegamos à raiz aproximada em três iterações a partir de
. - Resumo das iterações (aproximações decimais):
-
, -
, -
, -
(satisfaz ).
-
- Dica: em prova faça as duas primeiras iterações exatas em frações quando possível (como fizemos) — isso evita acúmulo de erro — e, a partir daí, calcule com precisão suficiente para verificar a tolerância pedida. Se precisar de mais casas, faça mais iterações; a convergência de Newton é geralmente rápida perto da raiz.