Use o método de Newton para encontrar a raiz da função f(x)=x^{3}-2 no intervalo [1,2], com ponto inicial x_{0}=1,0 e tolerância \left|f\left(x_{n}\right)\right|<\varepsilon=10^{-4}.

Passo 1

O enunciado pede para usar o método de Newton para encontrar a raiz da função f(x)=x^{3}-2 no intervalo [1,2], com ponto inicial x_{0}=1{,}0 e critério de parada \left|f\left(x_{n}\right)\right|<\varepsilon=10^{-4}.
Informações dadas (retiradas do enunciado):
  • Função: f(x)=x^{3}-2.
  • Intervalo considerado: [1,2] (a raiz procurada está nesse intervalo).
  • Ponto inicial: x_{0}=1{,}0.
  • Tolerância: \varepsilon=10^{-4}.
  • Critério de parada: parar quando \left|f\left(x_{n}\right)\right|<\varepsilon.

Passo 2

Apresentar o método que vamos usar (fórmula e ideia):
  • O método de Newton (ou de Newton–Raphson) gera uma sequência \{x_n\} pela fórmula
x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}.
  • Intuição rápida: aproximamos a curva por sua reta tangente em x_n e tomamos a interseção dessa reta com o eixo x como novo ponto x_{n+1}. Quando estamos perto da raiz, a convergência é quadrática, ou seja, melhora muito rápido.
  • Critério de parada escolhido aqui: \left|f(x_n)\right|<\varepsilon. Isso significa que aceitaremos x_n como raiz quando o valor absoluto da função estiver abaixo de 10^{-4}.

Passo 3

Calcular a derivada e escrever as expressões específicas para nossa função:
  • Para f(x)=x^{3}-2 temos
f'(x)=3x^{2}.
  • Assim a iteração de Newton fica
x_{n+1}=x_{n}-\frac{x_{n}^{3}-2}{3x_{n}^{2}}.
Podemos simplificar a fração quando conveniente, mas vamos calcular explicitamente passo a passo.

Passo 4

Iteração n=0 \to n=1:
  • x_{0}=1{,}0.
  • Calcular f(x_{0}) e f'(x_{0}):
f(x_{0})=1^{3}-2=-1,\qquad f'(x_{0})=3\cdot1^{2}=3.
  • Aplicando Newton:
x_{1}=x_{0}-\frac{f(x_{0})}{f'(x_{0})}=1-\frac{-1}{3}=1+\frac{1}{3}=\frac{4}{3}\approx1{,}3333333333.
  • Verificar o critério (ainda não satisfeito):
f(x_{1})=\left(\frac{4}{3}\right)^{3}-2=\frac{64}{27}-2=\frac{10}{27}\approx0{,}3703703704,
que é maior que 10^{-4}. Então continuamos.

Passo 5

Iteração n=1 \to n=2:
  • x_{1}=\frac{4}{3}.
  • Calcular f(x_{1}) e f'(x_{1}) (já calculado o f(x_{1}) acima):
f(x_{1})=\frac{10}{27},\qquad f'(x_{1})=3\left(\frac{4}{3}\right)^{2}=3\cdot\frac{16}{9}=\frac{16}{3}.
  • Correção \dfrac{f(x_{1})}{f'(x_{1})}:
\frac{f(x_{1})}{f'(x_{1})}=\frac{\dfrac{10}{27}}{\dfrac{16}{3}}=\frac{10}{27}\cdot\frac{3}{16}=\frac{5}{72}.
  • Logo
x_{2}=x_{1}-\frac{5}{72}=\frac{4}{3}-\frac{5}{72}=\frac{96-5}{72}=\frac{91}{72}\approx1{,}2638888889.
  • Avaliar f(x_{2}):
f(x_{2})=\left(\frac{91}{72}\right)^{3}-2=\frac{753571}{373248}-2=\frac{7075}{373248}\approx0{,}018949915,
ainda maior que 10^{-4}. Continuamos.

Passo 6

Iteração n=2 \to n=3:
  • x_{2}=\frac{91}{72}.
  • Calcular f'(x_{2}):
f'(x_{2})=3\left(\frac{91}{72}\right)^{2}=3\cdot\frac{8281}{5184}=\frac{24843}{5184}.
  • A correção é
\frac{f(x_{2})}{f'(x_{2})}=\frac{\dfrac{7075}{373248}}{\dfrac{24843}{5184}} =\frac{7075}{373248}\cdot\frac{5184}{24843}.
Fazendo simplificações (dividindo numerador e denominador por fatores comuns) obtém-se
\frac{f(x_{2})}{f'(x_{2})}=\frac{7075}{1788696}\approx0{,}0039553954.
  • Então
x_{3}=x_{2}-\frac{7075}{1788696}=\frac{91}{72}-\frac{7075}{1788696}\approx1{,}25993349345.
  • Avaliar f(x_{3}) numericamente (usando a potência):
f(x_{3})=x_{3}^{3}-2\approx(1{,}25993349345)^{3}-2\approx0{,}00005925\approx5{,}925\times10^{-5}.
  • Comparar com a tolerância: \left|f(x_{3})\right|\approx5{,}925\times10^{-5}<10^{-4}. Portanto o critério de parada está satisfeito em n=3.

Passo 7

Conclusão prática e dica para a prova:
  • Chegamos à raiz aproximada em três iterações a partir de x_{0}=1{,}0.
  • Resumo das iterações (aproximações decimais):
    • x_{0}=1{,}0,
    • x_{1}\approx1{,}3333333333,
    • x_{2}\approx1{,}2638888889,
    • x_{3}\approx1{,}25993349345 (satisfaz \left|f(x_{3})\right|<10^{-4}).
  • Dica: em prova faça as duas primeiras iterações exatas em frações quando possível (como fizemos) — isso evita acúmulo de erro — e, a partir daí, calcule com precisão suficiente para verificar a tolerância pedida. Se precisar de mais casas, faça mais iterações; a convergência de Newton é geralmente rápida perto da raiz.

Resposta

\displaystyle x\approx1{,}25993349345

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