Aplique o método da bissecção para encontrar a raiz da função f(x)=x \exp (x)-1 no intervalo [0,1], com tolerância \left(b_{n}-a_{n}\right) / 2<\delta=10^{-1}.

Passo 1

O enunciado pede aplicar o método da bissecção para encontrar a raiz da função f(x)=x\exp(x)-1 no intervalo inicial [0,1] usando a tolerância
\frac{b_n-a_n}{2}<\delta=10^{-1}.
Informações dadas:
  • Função: f(x)=x\exp(x)-1.
  • Intervalo inicial: a_0=0, b_0=1.
  • Tolerância: \delta=10^{-1}, ou seja devemos parar quando \dfrac{b_n-a_n}{2}<0{,}1.
    As perguntas implícitas: aplicar iterativamente a bissecção até satisfazer a tolerância e dar a aproximação da raiz.

Passo 2

O que é o método da bissecção e qual a regra de parada (explicação didática).
  • A bissecção funciona assim: dado um intervalo [a,b] com f(a) e f(b) de sinais opostos (ou seja f(a)\,f(b)<0), existe pelo Teorema do Valor Intermediário pelo menos uma raiz em [a,b].
  • Calcula-se o ponto médio
c=\frac{a+b}{2}.
  • Avalia-se f\text{(c)}. Se f\text{(c)}=0 a raiz é c. Se f\text{(c)} tem mesmo sinal que f(a), a raiz está em [c,b]; caso contrário está em [a,c]. Repetir com o novo intervalo.
  • A cada iteração o comprimento do intervalo é halved, e o erro máximo ao tomar \dfrac{a+b}{2} como aproximação é
\text{erro}\le\frac{b-a}{2}.
  • A condição de parada dada é \dfrac{b_n-a_n}{2}<\delta. Logo devemos iterar até que o comprimento do intervalo satisfaça b_n-a_n<2\delta=0{,}2.

Passo 3

Verificação inicial de sinais e valores necessários (calculei estes valores usando \exp(1)\approx2{,}718281828 e \exp(0{,}5), \exp(0{,}75), \exp(0{,}625) aproximados conforme indicado).
  • f(0)=0\cdot\exp(0)-1=-1.
  • f(1)=1\cdot\exp(1)-1=\exp(1)-1\approx2{,}718281828-1=1{,}718281828>0.
    Como f(0)<0 e f(1)>0, existe pelo menos uma raiz em [0,1] e podemos aplicar a bissecção.

Passo 4

Iteração 1:
  • Ponto médio:
c_1=\frac{0+1}{2}=0{,}5.
  • Avaliação:
f(0{,}5)=0{,}5\exp(0{,}5)-1.
Usando \exp(0{,}5)\approx1{,}648721271,
f(0{,}5)\approx0{,}5\cdot1{,}648721271-1=0{,}8243606355-1\approx-0{,}1756393645<0.
  • Decisão: f(c_1) tem mesmo sinal que f(a_0)=f(0) (ambos negativos), então a raiz está em [c_1,b_0]=[0{,}5,1].
  • Novo intervalo: a_1=0{,}5,\;b_1=1.
  • Comprimento do intervalo: b_1-a_1=0{,}5, logo \dfrac{b_1-a_1}{2}=0{,}25\ge0{,}1. Ainda não paramos.

Passo 5

Iteração 2:
  • Ponto médio:
c_2=\frac{0{,}5+1}{2}=0{,}75.
  • Avaliação:
f(0{,}75)=0{,}75\exp(0{,}75)-1.
Usando \exp(0{,}75)\approx2{,}1170000166,
f(0{,}75)\approx0{,}75\cdot2{,}1170000166-1=1{,}58775001245-1\approx0{,}58775001245>0.
  • Decisão: f(c_2)>0 tem mesmo sinal que f(b_1), então a raiz está em [a_1,c_2]=[0{,}5,0{,}75].
  • Novo intervalo: a_2=0{,}5,\;b_2=0{,}75.
  • Comprimento: b_2-a_2=0{,}25, então \dfrac{b_2-a_2}{2}=0{,}125\ge0{,}1. Ainda não paramos.

Passo 6

Iteração 3:
  • Ponto médio:
c_3=\frac{0{,}5+0{,}75}{2}=0{,}625.
  • Avaliação:
f(0{,}625)=0{,}625\exp(0{,}625)-1.
Usando \exp(0{,}625)\approx1{,}868245957,
f(0{,}625)\approx0{,}625\cdot1{,}868245957-1=1{,}167653723125-1\approx0{,}167653723125>0.
  • Decisão: f(c_3)>0 tem mesmo sinal que f(b_2), então a raiz está em [a_2,c_3]=[0{,}5,0{,}625].
  • Novo intervalo final: a_3=0{,}5,\;b_3=0{,}625.
  • Comprimento: b_3-a_3=0{,}125, logo
\frac{b_3-a_3}{2}=0{,}0625<0{,}1,
portanto a condição de parada \dfrac{b_n-a_n}{2}<\delta está satisfeita.

Passo 7

Interpretação final e aproximação da raiz (como fazer na prova).
  • Ao parar temos certeza (garantia do método) de que existe uma raiz \xi em [0{,}5,0{,}625].
  • Uma boa aproximação da raiz é o ponto médio do intervalo final:
\bar{x}=\frac{a_3+b_3}{2}=\frac{0{,}5+0{,}625}{2}=0{,}5625.
  • O erro máximo associado a essa aproximação satisfaz
|\bar{x}-\xi|\le\frac{b_3-a_3}{2}=0{,}0625<0{,}1,
ou seja, a aproximação cumpre a tolerância pedida.
  • Observação prática para a prova: basta fazer 3 iterações porque 1/2^3=1/8=0{,}125<0{,}2 (comprimento do intervalo menor que 2\delta), então com 3 bissecções atinge-se a condição b_n-a_n<2\delta.

Resposta

x\approx0{,}5625 (intervalo final [0{,}5,0{,}625], erro \le0{,}0625<0{,}1)

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