Aplique o método da bissecção para encontrar a raiz da função
no intervalo
, com tolerância
.
Passo 1
O enunciado pede aplicar o método da bissecção para encontrar a raiz da função
no intervalo inicial
usando a tolerância
Informações dadas:
- Função:
. - Intervalo inicial:
, . - Tolerância:
, ou seja devemos parar quando .
As perguntas implícitas: aplicar iterativamente a bissecção até satisfazer a tolerância e dar a aproximação da raiz.
Passo 2
O que é o método da bissecção e qual a regra de parada (explicação didática).
- A bissecção funciona assim: dado um intervalo
com e de sinais opostos (ou seja ), existe pelo Teorema do Valor Intermediário pelo menos uma raiz em . - Calcula-se o ponto médio
- Avalia-se
. Se a raiz é . Se tem mesmo sinal que , a raiz está em ; caso contrário está em . Repetir com o novo intervalo. - A cada iteração o comprimento do intervalo é halved, e o erro máximo ao tomar
como aproximação é
- A condição de parada dada é
. Logo devemos iterar até que o comprimento do intervalo satisfaça .
Passo 3
Verificação inicial de sinais e valores necessários (calculei estes valores usando
e
,
,
aproximados conforme indicado).
-
-
Comoe , existe pelo menos uma raiz em e podemos aplicar a bissecção.
Passo 4
Iteração 1:
- Ponto médio:
- Avaliação:
Usando
,
- Decisão:
tem mesmo sinal que (ambos negativos), então a raiz está em . - Novo intervalo:
. - Comprimento do intervalo:
, logo . Ainda não paramos.
Passo 5
Iteração 2:
- Ponto médio:
- Avaliação:
Usando
,
- Decisão:
tem mesmo sinal que , então a raiz está em . - Novo intervalo:
. - Comprimento:
, então . Ainda não paramos.
Passo 6
Iteração 3:
- Ponto médio:
- Avaliação:
Usando
,
- Decisão:
tem mesmo sinal que , então a raiz está em . - Novo intervalo final:
. - Comprimento:
, logo
portanto a condição de parada
está satisfeita.
Passo 7
Interpretação final e aproximação da raiz (como fazer na prova).
- Ao parar temos certeza (garantia do método) de que existe uma raiz
em . - Uma boa aproximação da raiz é o ponto médio do intervalo final:
- O erro máximo associado a essa aproximação satisfaz
ou seja, a aproximação cumpre a tolerância pedida.
- Observação prática para a prova: basta fazer 3 iterações porque
(comprimento do intervalo menor que ), então com 3 bissecções atinge-se a condição .