Aplique o método de Newton para encontrar uma raiz de
Use o ponto inicial
e realize 6 iterações. Compare seu resultado com a raiz exata
.
Passo 1
O enunciado pede: aplicar o método de Newton para aproximar uma raiz da função
usando o ponto inicial
e realizar 6 iterações. Em seguida comparar o resultado obtido com a raiz exata
.
Informações dadas:
- Função:
. - Derivada necessária: será calculada adiante.
- Ponto inicial:
. - Número de iterações: 6.
O que se pede:
- Calcular
pelo método de Newton. - Comparar (mostrar a diferença/erro) em relação à raiz exata
.
Passo 2
Vou explicar o método de Newton de forma didática, passo a passo.
Ideia do método de Newton: dado um valor aproximado
para uma raiz de
, aproximamos
por sua reta tangente em
e usamos a interseção dessa reta com o eixo
como nova aproximação
.
A reta tangente a
em
tem equação (forma-ponto)
A interseção com o eixo
(isto é,
) dá
Isolando
obtemos a fórmula iterativa do método de Newton:
O que cada símbolo significa:
-
: aproximação atual da raiz. -
: valor da função no ponto . -
: derivada da função no ponto . -
: nova aproximação obtida pela interseção da tangente com o eixo .
Propriedade importante (útil para comparação): se
é suficiente suave e
está perto da raiz real
, o método de Newton converge quadraticamente: o erro roughly se reduz ao quadrado a cada iteração (mais precisamente,
para alguma constante
). Isso explica por que em poucas iterações se obtém muitos dígitos corretos.
Passo 3
Aplicando ao caso
:
Calcule a derivada:
A fórmula de Newton fica
Isso pode ser simplificado algebricamente (para facilitar os cálculos manualmente):
Essa última forma é prática porque separa um termo proporcional a
e um termo com
.
Passo 4
Primeira iteração a partir de
.
Calcule
e
:
Aplicando Newton:
Em decimal:
Passo 5
Segunda iteração: cálculo exato com
.
Primeiro calcule
:
Usando a forma simplificada da iteração:
Calcule os dois termos separadamente:
Somando (colocando em mesmo denominador) obtemos, após simplificar:
(As contas mostraram o trabalho com frações para que se possa reproduzir manualmente sem calculadora.)
Passo 6
Terceira iteração: partir de
.
Calcule
como fração:
Agora a iteração:
Calcule separadamente (mostrando as razões racionais usadas para não depender só de aproximações):
Somando:
Comparando com a raiz exata
, o erro absoluto em
é
Observe: já na terceira iteração temos erro da ordem
.
Passo 7
Quarta iteração e uso da convergência quadrática para estimar as próximas iterações.
Para Newton, quando
é a raiz exata e
é pequeno, existe aproximação
No nosso caso
dá
e
. Avaliando em
temos
Logo para este problema
Usando o erro aproximado
, obtemos
Portanto
A quinta iteração terá erro da ordem
. Assim
e na sexta iteração o erro já fica extremamente pequeno (da ordem
), de modo que
com muitas casas corretas (praticamente idêntico a
na precisão usual).
Passo 8
Resumo numérico das 6 iterações (apresentando frações exatas quando obtidas e aproximações decimais):
-
. -
. -
. -
(erro ). -
(erro ). -
(erro ). -
(erro , numericamente zero na precisão usual).
Interpretação: após 6 iterações o valor já coincide com
até dezenas de casas decimais; o método convergiu muito rapidamente por causa da convergência quadrática.
Resposta
Comparação com a raiz exata
: após 6 iterações a aproximação coincide com a raiz exata até a precisão mostrada (erro ≲
a
, dependendo da iteração considerada).