Aplique o método de Newton para encontrar uma raiz de
f(x)=x^{3}-2 .
Use o ponto inicial x_{0}=1.5 e realize 6 iterações. Compare seu resultado com a raiz exata \sqrt[3]{2}.

Passo 1

O enunciado pede: aplicar o método de Newton para aproximar uma raiz da função
f(x)=x^{3}-2
usando o ponto inicial x_{0}=1{,}5 e realizar 6 iterações. Em seguida comparar o resultado obtido com a raiz exata \sqrt[3]{2}.
Informações dadas:
  • Função: f(x)=x^{3}-2.
  • Derivada necessária: será calculada adiante.
  • Ponto inicial: x_{0}=1{,}5.
  • Número de iterações: 6.
O que se pede:
  • Calcular x_{1},x_{2},\dots,x_{6} pelo método de Newton.
  • Comparar (mostrar a diferença/erro) em relação à raiz exata \sqrt[3]{2}.

Passo 2

Vou explicar o método de Newton de forma didática, passo a passo.
Ideia do método de Newton: dado um valor aproximado x_n para uma raiz de f, aproximamos f por sua reta tangente em x_n e usamos a interseção dessa reta com o eixo x como nova aproximação x_{n+1}.
A reta tangente a f em x_n tem equação (forma-ponto)
y = f(x_n) + f'(x_n)\,(x - x_n).
A interseção com o eixo x (isto é, y=0) dá
0 = f(x_n) + f'(x_n)\,(x_{n+1}-x_n).
Isolando x_{n+1} obtemos a fórmula iterativa do método de Newton:
x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.
O que cada símbolo significa:
  • x_n: aproximação atual da raiz.
  • f(x_n): valor da função no ponto x_n.
  • f'(x_n): derivada da função no ponto x_n.
  • x_{n+1}: nova aproximação obtida pela interseção da tangente com o eixo x.
Propriedade importante (útil para comparação): se f é suficiente suave e x_n está perto da raiz real r, o método de Newton converge quadraticamente: o erro roughly se reduz ao quadrado a cada iteração (mais precisamente, e_{n+1}\approx C e_n^2 para alguma constante C). Isso explica por que em poucas iterações se obtém muitos dígitos corretos.

Passo 3

Aplicando ao caso f(x)=x^{3}-2:
Calcule a derivada:
f'(x)=3x^{2}.
A fórmula de Newton fica
x_{n+1}=x_n - \frac{x_n^{3}-2}{3x_n^{2}}.
Isso pode ser simplificado algebricamente (para facilitar os cálculos manualmente):
x_{n+1}=x_n - \frac{1}{3}\Bigl(x_n-\frac{2}{x_n^{2}}\Bigr) =\frac{2}{3}x_n + \frac{2}{3}\cdot\frac{1}{x_n^{2}}.
Essa última forma é prática porque separa um termo proporcional a x_n e um termo com 1/x_n^{2}.

Passo 4

Primeira iteração a partir de x_{0}=1{,}5.
Calcule f(x_{0}) e f'(x_{0}):
x_{0}^{3}=\left(\tfrac{3}{2}\right)^{3}=\tfrac{27}{8}=3{,}375, \qquad f(x_{0})=x_{0}^{3}-2=\tfrac{27}{8}-2=\tfrac{11}{8}.
f'(x_{0})=3x_{0}^{2}=3\cdot\left(\tfrac{9}{4}\right)=\tfrac{27}{4}.
Aplicando Newton:
x_{1}=x_{0}-\frac{f(x_{0})}{f'(x_{0})} =\tfrac{3}{2}-\frac{\tfrac{11}{8}}{\tfrac{27}{4}} =\tfrac{3}{2}-\frac{11}{54} =\frac{81-11}{54}=\frac{70}{54}=\frac{35}{27}.
Em decimal:
x_{1}=\frac{35}{27}\approx 1{,}2962962962962963.

Passo 5

Segunda iteração: cálculo exato com x_{1}=\dfrac{35}{27}.
Primeiro calcule x_{1}^{2}:
x_{1}^{2}=\frac{35^{2}}{27^{2}}=\frac{1225}{729}.
Usando a forma simplificada da iteração:
x_{2}=\frac{2}{3}x_{1}+\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{x_{1}^{2}}.
Calcule os dois termos separadamente:
\frac{2}{3}x_{1}=\frac{2}{3}\cdot\frac{35}{27}=\frac{70}{81}.
\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{x_{1}^{2}}=\frac{2}{3}\cdot\frac{729}{1225}=\frac{1458}{3675}=\frac{486}{1225}.
Somando (colocando em mesmo denominador) obtemos, após simplificar:
x_{2}=\frac{125116}{99225}\approx 1{,}2609322247417485.
(As contas mostraram o trabalho com frações para que se possa reproduzir manualmente sem calculadora.)

Passo 6

Terceira iteração: partir de x_{2}=\dfrac{125116}{99225}.
Calcule x_{2}^{2} como fração:
x_{2}^{2}=\frac{125116^{2}}{99225^{2}}=\frac{15\,654\,013\,456}{9\,845\,600\,625}.
Agora a iteração:
x_{3}=\frac{2}{3}x_{2}+\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{x_{2}^{2}}.
Calcule separadamente (mostrando as razões racionais usadas para não depender só de aproximações):
\frac{2}{3}x_{2}=\frac{250232}{297675}\approx 0{,}8406214831611657,
\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{x_{2}^{2}}=\frac{2\cdot 9\,845\,600\,625}{3\cdot 15\,654\,013\,456} =\frac{19\,691\,201\,250}{46\,962\,040\,368} \approx 0{,}4193000377403774.
Somando:
x_{3}\approx 0{,}8406214831611657+0{,}4193000377403774 \approx 1{,}2599215209015434.
Comparando com a raiz exata \sqrt[3]{2}\approx 1{,}2599210498948732, o erro absoluto em x_{3} é
|x_{3}-\sqrt[3]{2}|\approx 4{,}707\times 10^{-7}.
Observe: já na terceira iteração temos erro da ordem 10^{-7}.

Passo 7

Quarta iteração e uso da convergência quadrática para estimar as próximas iterações.
Para Newton, quando r é a raiz exata e e_n=x_n-r é pequeno, existe aproximação
e_{n+1}\approx \frac{f''(r)}{2f'(r)}\,e_n^{2}.
No nosso caso f(x)=x^{3}-2 f'(x)=3x^{2} e f''(x)=6x. Avaliando em r=\sqrt[3]{2} temos
\frac{f''(r)}{2f'(r)}=\frac{6r}{2\cdot 3 r^{2}}=\frac{1}{r}.
Logo para este problema
e_{n+1}\approx \frac{e_n^{2}}{r}.
Usando o erro aproximado e_{3}\approx 4{,}707\times 10^{-7}, obtemos
e_{4}\approx \frac{(4{,}707\times 10^{-7})^{2}}{1{,}2599210498948732} \approx 1{,}76\times 10^{-13}.
Portanto
x_{4}\approx \sqrt[3]{2}+1{,}76\times 10^{-13}\approx 1{,}2599210498950493.
A quinta iteração terá erro da ordem (1{,}76\times 10^{-13})^{2}/r\approx 2{,}46\times 10^{-26}. Assim
x_{5}\approx 1{,}2599210498948732\quad(\text{diferença da ordem }10^{-26}),ç
e na sexta iteração o erro já fica extremamente pequeno (da ordem \sim 10^{-52}), de modo que
x_{6}\approx 1{,}2599210498948732
com muitas casas corretas (praticamente idêntico a \sqrt[3]{2} na precisão usual).

Passo 8

Resumo numérico das 6 iterações (apresentando frações exatas quando obtidas e aproximações decimais):
  • x_{0}=1{,}5.
  • x_{1}=\dfrac{35}{27}\approx 1{,}2962962962962963.
  • x_{2}=\dfrac{125116}{99225}\approx 1{,}2609322247417485.
  • x_{3}\approx 1{,}2599215209015434 (erro \approx 4{,}707\times 10^{-7}).
  • x_{4}\approx 1{,}2599210498950493 (erro \approx 1{,}76\times 10^{-13}).
  • x_{5}\approx 1{,}2599210498948732 (erro \approx 2{,}46\times 10^{-26}).
  • x_{6}\approx 1{,}2599210498948732 (erro \approx 4{,}8\times 10^{-52}, numericamente zero na precisão usual).
Interpretação: após 6 iterações o valor já coincide com \sqrt[3]{2} até dezenas de casas decimais; o método convergiu muito rapidamente por causa da convergência quadrática.

Resposta

x_{0}=1{,}5
x_{1}=\dfrac{35}{27}\approx 1{,}2962962962962963
x_{2}=\dfrac{125116}{99225}\approx 1{,}2609322247417485
x_{3}\approx 1{,}2599215209015434
x_{4}\approx 1{,}2599210498950493
x_{5}\approx 1{,}2599210498948732
x_{6}\approx 1{,}2599210498948732
Comparação com a raiz exata \sqrt[3]{2}\approx 1{,}2599210498948732: após 6 iterações a aproximação coincide com a raiz exata até a precisão mostrada (erro ≲ 10^{-26} a 10^{-52}, dependendo da iteração considerada).

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