Explique por que o método de Newton pode falhar quando
é muito pequeno. Para ilustrar, aplique o método ao problema:
. O que acontece?
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
- Explicar por que o método de Newton pode falhar quando
é muito pequeno. - Ilustrar a ideia aplicando o método ao problema
com ponto inicial
, e dizer o que acontece.
Informações dadas:
- A função é
. - O ponto inicial é
. - O objetivo é aplicar o método de Newton e descrever o comportamento da sequência gerada.
Passo 2
Breve aula sobre o método de Newton e por que derivada pequena é perigosa.
- O método de Newton para achar uma raiz de
produz a iteração
Isto vem da aproximação de
por sua reta tangente em
e da solução da reta igual a zero.
-
Interpretação prática do termo
: - É o “passo” que se tira a partir de
. - Se
for muito pequeno (ou zero), então pode ser muito grande, produzindo um passo enorme que joga para longe da raiz — daí a possibilidade de falha do método. - Se
exatamente, a fórmula fica indefinida e o método quebra ali mesmo. - Em resumo: derivada pequena → denominador pequeno → passo grande → risco de sair da região de convergência ou até divergir.
- É o “passo” que se tira a partir de
-
Observação complementar (útil para o exemplo): o método também pode falhar se
for malcomportada (muito grande ou singular) perto da raiz; não é só o caso “derivada pequena” que atrapalha — comportamento singular de pode tornar a iteração instável.
Passo 3
Aplicando o método a
.
- Primeiro calculemos a derivada (quando
):
- Escrevemos a fórmula do passo de Newton para esta
:
Agora simplificamos o quociente. Note que
Portanto a iteração fica extremamente simples:
- Conclusão algébrica: a sequência gerada por Newton satisfaz
ou seja, cada iteração multiplica o valor anterior por
.
Passo 4
Calculemos os primeiros termos a partir de
para ver o comportamento numérico:
-
. -
. -
. -
. -
. -
.
Observação: a magnitude dobra a cada passo e o sinal alterna. Em notação geral,
Assim
, que tende a
quando
. Portanto a sequência diverge, não converge para a raiz
.
Passo 5
Interpretação e relação com a explicação inicial:
- No exemplo a raiz procurada é
. A derivada é singular em (tende a quando ), ou seja, não é bem comportada no entorno da raiz. Esse comportamento faz com que a iteração linearize a função de modo que o multiplicador seja , o que produz divergência exponencial em magnitude. - Embora a falha inicialmente discutida fosse “derivada muito pequena” (que causa passos enormes), aqui vemos outra forma de mau comportamento de
(derivada singular) que também leva o método a falhar. Em ambos os casos o problema é que a razão não leva a correções apropriadas para aproximar a raiz; ou dá passos excessivos, ou transforma a iteração numa sequência instável. - Recomendações práticas para provas e implementação:
- Evitar iniciar o método em pontos onde
é muito pequeno ou singular. - Usar estratégias de proteção: damping (usar
com ), combinação com bissecção, ou métodos que usam garantias de convergência global. - Sempre verificar comportamento local de
antes de confiar cegamente em Newton.
- Evitar iniciar o método em pontos onde
Resposta
A iteração de Newton para
satisfaz
. Com
obtemos
, que alterna de sinal e tem magnitude
crescendo geometricamente; portanto a sequência diverge (o método falha).