Explique por que o método de Newton pode falhar quando f^{\prime}\left(x_{0}\right) é muito pequeno. Para ilustrar, aplique o método ao problema:
f(x)=x^{1 / 3}
\operatorname{com} x_{0}=0.01. O que acontece?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  • Explicar por que o método de Newton pode falhar quando f'(x_0) é muito pequeno.
  • Ilustrar a ideia aplicando o método ao problema
f(x)=x^{1/3}
com ponto inicial x_0=0,01, e dizer o que acontece.
Informações dadas:
  • A função é f(x)=x^{1/3}.
  • O ponto inicial é x_0=0,01.
  • O objetivo é aplicar o método de Newton e descrever o comportamento da sequência gerada.

Passo 2

Breve aula sobre o método de Newton e por que derivada pequena é perigosa.
  • O método de Newton para achar uma raiz de f produz a iteração
x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.
Isto vem da aproximação de f por sua reta tangente em x_n e da solução da reta igual a zero.
  • Interpretação prática do termo \dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)}:
    • É o “passo” que se tira a partir de x_n.
    • Se |f'(x_n)| for muito pequeno (ou zero), então \dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)} pode ser muito grande, produzindo um passo enorme que joga x_{n+1} para longe da raiz — daí a possibilidade de falha do método.
    • Se f'(x_n)=0 exatamente, a fórmula fica indefinida e o método quebra ali mesmo.
    • Em resumo: derivada pequena → denominador pequeno → passo grande → risco de sair da região de convergência ou até divergir.
  • Observação complementar (útil para o exemplo): o método também pode falhar se f' for malcomportada (muito grande ou singular) perto da raiz; não é só o caso “derivada pequena” que atrapalha — comportamento singular de f' pode tornar a iteração instável.

Passo 3

Aplicando o método a f(x)=x^{1/3}.
  • Primeiro calculemos a derivada (quando x\neq0):
f(x)=x^{1/3}\quad\Rightarrow\quad f'(x)=\frac{1}{3}x^{-2/3}.
  • Escrevemos a fórmula do passo de Newton para esta f:
x_{n+1}=x_n-\frac{x_n^{1/3}}{\tfrac{1}{3}x_n^{-2/3}}.
Agora simplificamos o quociente. Note que
\frac{x_n^{1/3}}{\tfrac{1}{3}x_n^{-2/3}} = x_n^{1/3}\cdot 3x_n^{2/3} =3x_n^{1/3+2/3}=3x_n.
Portanto a iteração fica extremamente simples:
x_{n+1}=x_n-3x_n=-2x_n.
  • Conclusão algébrica: a sequência gerada por Newton satisfaz
x_{n+1}=-2x_n,
ou seja, cada iteração multiplica o valor anterior por -2.

Passo 4

Calculemos os primeiros termos a partir de x_0=0,01 para ver o comportamento numérico:
  • x_0=0,01.
  • x_1=-2x_0=-2\cdot 0,01=-0,02.
  • x_2=-2x_1=-2\cdot(-0,02)=0,04.
  • x_3=-2x_2=-2\cdot0,04=-0,08.
  • x_4=-2x_3=0,16.
  • x_5=-2x_4=-0,32.
Observação: a magnitude dobra a cada passo e o sinal alterna. Em notação geral,
x_n = (-2)^n x_0.
Assim |x_n|=2^n |x_0|, que tende a +\infty quando n\to\infty. Portanto a sequência diverge, não converge para a raiz 0.

Passo 5

Interpretação e relação com a explicação inicial:
  • No exemplo a raiz procurada é 0. A derivada f'(x)=\tfrac{1}{3}x^{-2/3} é singular em x=0 (tende a +\infty quando x\to0), ou seja, não é bem comportada no entorno da raiz. Esse comportamento faz com que a iteração linearize a função de modo que o multiplicador seja -2, o que produz divergência exponencial em magnitude.
  • Embora a falha inicialmente discutida fosse “derivada muito pequena” (que causa passos enormes), aqui vemos outra forma de mau comportamento de f' (derivada singular) que também leva o método a falhar. Em ambos os casos o problema é que a razão \dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)} não leva a correções apropriadas para aproximar a raiz; ou dá passos excessivos, ou transforma a iteração numa sequência instável.
  • Recomendações práticas para provas e implementação:
    • Evitar iniciar o método em pontos onde f' é muito pequeno ou singular.
    • Usar estratégias de proteção: damping (usar x_{n+1}=x_n-\lambda\frac{f(x_n)}{f'(x_n)} com 0<\lambda\le1), combinação com bissecção, ou métodos que usam garantias de convergência global.
    • Sempre verificar comportamento local de f' antes de confiar cegamente em Newton.

Resposta

A iteração de Newton para f(x)=x^{1/3} satisfaz x_{n+1}=-2x_n. Com x_0=0,01 obtemos x_n=(-2)^n\cdot 0,01, que alterna de sinal e tem magnitude |x_n|=2^n\cdot 0,01 crescendo geometricamente; portanto a sequência diverge (o método falha).

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