Considerando a função
(a) Verifique que
.
(b) Use o método de Newton com
e determine as primeiras 5 iterações.
(c) Discuta a rapidez da convergência.
(b) Use o método de Newton com
(c) Discuta a rapidez da convergência.
Passo 1
O enunciado pede três coisas:
- (a) Mostrar que a derivada de
é . - (b) Aplicar o método de Newton partindo de
e determinar as primeiras 5 iterações (ou seja, ). - (c) Discutir a rapidez da convergência do método para esta função a partir da sequência obtida.
Informações dadas:
- A função é
. - Ponto inicial para Newton:
.
Passo 2
(a) Calcular
. Vou diferenciar
passo a passo.
Regra do produto: se
então
.
Aqui
e
. Então
e
. Aplicando a regra do produto:
Subtraindo a derivada de
(que é zero) não altera. Logo
o que era para verificar.
Passo 3
Breve aula sobre o método de Newton (intuição e fórmula):
- O método de Newton para achar uma raiz de
gera uma sequência pela fórmula
- Intuição: aproxima-se a curva por sua tangente em
e toma-se a interseção da tangente com o eixo como nova aproximação. - Condição de boa convergência: se a raiz
é simples (ou seja, e ) e está suficientemente próximo, a convergência de Newton é quadrática: o erro roughly satisfaz para algum . - Aqui temos uma simplificação útil: usando
e ,
portanto a iteração de Newton fica
Essa forma é prática porque evita calcular duas vezes
e é numericamente estável.
Passo 4
(b) Calcular as primeiras 5 iterações com
. Vou aplicar a fórmula
Vou dar a expressão exata quando possível e depois a aproximação decimal (usarei aproximações decimais com precisão suficiente para ver a convergência; os valores de
foram aproximados usando as expansões elementares de
para pequena diferença e inversões, de forma que os números abaixo são corretos até os dígitos apresentados).
- Iteração 0 (dado):
- Iteração 1:
usar a fórmula com:
Portanto
- Iteração 2:
Numericamente, com
,
- Iteração 3:
usar a fórmula com. Primeiro calcule aproximadamente; isso dá (aproximação obtida por inversão de e refinamentos).
Agora
Calculando os termos:
Logo
- Iteração 4:
agora com. Calcule (aproximação usada abaixo com precisão dos dígitos mostrados).
Calcule.
Então
- Iteração 5:
com. Calcule (aproximação suficiente) e .
Então
Resumo das primeiras cinco iterações (valores aproximados):
Observação sobre precisão: dei as fórmulas exatas quando possível (por exemplo
). Os valores numéricos foram arredondados para cerca de 9–10 dígitos; o objetivo aqui é ver o comportamento da sequência e como ela se aproxima da raiz.
Passo 5
(c) Discussão da rapidez da convergência (didática e com base nos números obtidos).
- Primeiro, qual é a raiz que estamos aproximando? A equação
tem solução (função de Lambert), cujo valor numérico é
- Observando a sequência
obtida:
nota-se que depois de poucas iterações já estamos com muitos dígitos corretos: por exemplo
já coincide com
nos dígitos mostrados.
- Teoria: como
é uma raiz simples de (verifique ), o método de Newton tem convergência quadrática perto de . Isso significa que, quando já está suficientemente próximo de , o erro satisfaz aproximadamente
para algum constante
que depende de
e
. Na prática isso se traduz em: perde-se poucos dígitos nas primeiras iterações, e a partir de um certo ponto o número de dígitos corretos dobra a cada iteração (é por isso que Newton é “muito rápido”).
-
Verificação numérica do comportamento quadrático (ilustração): tomando a aproximação
, - erro
, - erro
(que é da ordem de , mesma ordem de grandeza), - erro
(muito menor; é aproximadamente da ordem de ), - erro
já é da ordem de ou menor.
Esses números mostram claramente a queda rápida do erro e a tendência quadrática.
- erro
-
Conclusão qualitativa: a convergência é rápida. Começando em
(não tão perto da raiz), Newton aproxima-se bem já nas primeiras 3–5 iterações; depois disso a convergência fica quadrática e a precisão aumenta muito rapidamente. Em problemas de prova: com 4–5 iterações obtém-se uma aproximação com muitos dígitos corretos.
Resposta
(a)
.
(b)
(c) A convergência é rápida (quadrática) perto da raiz: após 4–5 iterações já se obtém várias casas corretas da raiz
.