Considere a equação
Mostre que existe uma raiz no intervalo
e aplique o método da posição falsa por 6 iterações. Compare com o método da bisseção (3 iterações) em relação ao erro.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede três coisas:
- Mostrar que existe uma raiz no intervalo
. - Aplicar o método da posição falsa (regula falsi) por 6 iterações, mostrando passo a passo as atualizações.
- Comparar, em relação ao erro, com o método da bisseção depois de 3 iterações.
Informações relevantes dadas:
- A função
está explícita (podemos avaliar em quaisquer pontos). - Intervalo inicial para procurar a raiz:
. - Número de iterações exigidas: 6 para posição falsa, 3 para bisseção.
Passo 2
Mostrar existência de raiz em
(Teorema do Valor Intermediário).
Vou avaliar nas extremidades do intervalo:
Vou avaliar
Sabendo que
, temos
Como
e
, há uma mudança de sinal em
. Pelo Teorema do Valor Intermediário existe pelo menos uma raiz
tal que
.
Energia e fé: já sabemos que há uma raiz nesse intervalo — ótimo começo!
Passo 3
Explicação didática dos dois métodos (fórmulas, ideia e o que cada símbolo significa).
- Método da posição falsa (regula falsi).
- Ideia: aproximar
por uma reta que passe pelos pontos e e tomar a interseção dessa reta com o eixo como nova aproximação. Mantém o intervalo com mudança de sinal. - Fórmula do ponto de interseção (usando
e ):
Aqui
e
são os extremos atuais do intervalo com
e
de sinais opostos. A reta que liga
a
tem zero em
. Depois avaliamos
:
- Se
encontramos a raiz. - Se
tem mesmo sinal que , substituímos ; senão substituímos . Assim mantemos um intervalo com mudança de sinal.
Observação útil (caso particular aqui): como
, se usarmos sempre
e
na fórmula, ela simplifica para
Isto vem de colocar
na fórmula geral; servirá para acelerar os cálculos quando
permanecer
.
- Método da bisseção.
- Ideia: a cada iteração tomamos o ponto médio
do intervalo atual ; avaliamos e substituímos a metade que contém a raiz (pela mudança de sinal). O tamanho do intervalo reduz pela metade a cada iteração. - Propriedade de erro do método da bisseção: após
iterações o comprimento do intervalo é ; a aproximação por tem erro máximo absoluto menor ou igual a metade desse comprimento, isto é
Passo 4
Preparando para calcular: vou usar sempre 6 casas decimais quando for razoável apresentar números, mas manterei coerência com as fórmulas. Também usei como referência numérica a solução real (para comparar erros finais)
que é a solução exata numérica de
(a constante Omega). Vou mostrar os cálculos iterativos do método da posição falsa com as avaliações de
e as atualizações do intervalo.
Dados iniciais:
Passo 5
Iteração 1 (posição falsa):
Usando a fórmula
Usando a fórmula
Calculando numericamente:
Avaliação
Como
e
, a raiz está em
. Atualizo:
Comentário: já vimos uma redução significativa do erro:
.
Passo 6
Iteração 2 (posição falsa):
Agora e
. Uso a fórmula (caso
simplificada):
Agora
Numericamente:
Avaliação
Como
, atualizo:
Erro agora:
. Observa que em apenas mais uma iteração o erro caiu cerca de dez vezes.
Passo 7
Iteração 3 (posição falsa):
Uso novamente a fórmula:
Uso novamente a fórmula:
Avaliação
Atualizo:
Erro:
. Está muito bom já na 3ª iteração.
Passo 8
Iteração 4 (posição falsa):
Avaliação
Atualizo:
Erro:
(aproximadamente).
Passo 9
Iteração 5 (posição falsa):
Avaliação
Atualizo:
Erro:
agora está na ordem de
.
Passo 10
Iteração 6 (posição falsa):
Avaliação numérica:
torna-se numericamente zero dentro da precisão usual de máquina (ordem
ou menor).
Conclusão numérica: após 6 iterações a posição falsa fornece um valor com erro na ordem de
–
(ou seja, praticamente a precisão da representação numérica usual). A convergência foi muito rápida neste caso particular porque um dos extremos (
) teve
relativamente grande e a interpolação da secante levou rapidamente ao ponto fixo.
Passo 11
Agora aplico o método da bisseção por 3 iterações (passo a passo), para comparar erros.
Dados iniciais:
.
Iteração 1 (bisseção):
Troca-se o extremo direito:
.
Iteração 2:
Intervalo com mudança de sinal:
.
Iteração 3:
Como
e
, o novo intervalo é
. A aproximação por bisseção após 3 iterações é o ponto médio
.
Erro da bisseção (erro absoluto em relação ao
):
Observação: pelo argumento geral, após 3 iterações o comprimento do intervalo é
e o erro máximo garantido para o ponto médio é
; o erro calculado ~0,05786 está dentro desse limite.
Passo 12
Comparação dos erros:
- Posição falsa, após 6 iterações: aproximação
com erro absoluto da ordem de – (praticamente a precisão numérica habitual). Mesmo já após 3 iterações a posição falsa tinha erro da ordem . - Bisseção, após 3 iterações: aproximação
com erro absoluto .
Interpretação intuitiva e incentivadora: aqui a posição falsa foi muito mais eficiente — convergiu extremamente rápido para a raiz verdadeira em poucas iterações, enquanto a bisseção progride de forma constante mas lenta (metade do intervalo a cada iteração). Em problemas práticos, regula falsi pode convergir muito rápido quando a função é relativamente bem comportada e a linha secante aproxima bem a raiz; bisseção garante robustez (sempre reduz o intervalo) mas é linear e, por isso, dormitório se a rapidez for necessária.
Resposta
Existe raiz em
porque
e
.
Posição falsa (6 iterações): (erro absoluto
–
).
Bisseção (3 iterações): com erro absoluto
.
Posição falsa (6 iterações):
Bisseção (3 iterações):