Considere a equação
f(x)=e^{-x}-x .
Mostre que existe uma raiz no intervalo [0,1] e aplique o método da posição falsa por 6 iterações. Compare com o método da bisseção (3 iterações) em relação ao erro.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=e^{-x}-x
e pede três coisas:
  • Mostrar que existe uma raiz no intervalo [0,1].
  • Aplicar o método da posição falsa (regula falsi) por 6 iterações, mostrando passo a passo as atualizações.
  • Comparar, em relação ao erro, com o método da bisseção depois de 3 iterações.
Informações relevantes dadas:
  • A função f está explícita (podemos avaliar f(x) em quaisquer pontos).
  • Intervalo inicial para procurar a raiz: [0,1].
  • Número de iterações exigidas: 6 para posição falsa, 3 para bisseção.

Passo 2

Mostrar existência de raiz em [0,1] (Teorema do Valor Intermediário).
Vou avaliar f nas extremidades do intervalo:
f(0)=e^{0}-0=1, \qquad f(1)=e^{-1}-1.
Sabendo que e^{-1}\approx0,36787944117144233, temos
f(1)=e^{-1}-1\approx -0,6321205588285577.
Como f(0)=1>0 e f(1)\approx-0,6321<0, há uma mudança de sinal em [0,1]. Pelo Teorema do Valor Intermediário existe pelo menos uma raiz \xi\in[0,1] tal que f(\xi)=0.
Energia e fé: já sabemos que há uma raiz nesse intervalo — ótimo começo!

Passo 3

Explicação didática dos dois métodos (fórmulas, ideia e o que cada símbolo significa).
  1. Método da posição falsa (regula falsi).
  • Ideia: aproximar f por uma reta que passe pelos pontos (a,f(a)) e (b,f(b)) e tomar a interseção dessa reta com o eixo x como nova aproximação. Mantém o intervalo com mudança de sinal.
  • Fórmula do ponto de interseção (usando a e b):
c = a - f(a)\,\frac{b-a}{f(b)-f(a)}.
Aqui a e b são os extremos atuais do intervalo com f(a) e f(b) de sinais opostos. A reta que liga (a,f(a)) a (b,f(b)) tem zero em c. Depois avaliamos f\text{(c)}:
  • Se f\text{(c)}=0 encontramos a raiz.
  • Se f\text{(c)} tem mesmo sinal que f(a), substituímos a\leftarrow c; senão substituímos b\leftarrow c. Assim mantemos um intervalo com mudança de sinal.
Observação útil (caso particular aqui): como f(0)=1, se usarmos sempre a=0 e f(a)=1 na fórmula, ela simplifica para
c = \frac{b}{1 - f(b)}.
Isto vem de colocar a=0,f(a)=1 na fórmula geral; servirá para acelerar os cálculos quando a permanecer 0.
  1. Método da bisseção.
  • Ideia: a cada iteração tomamos o ponto médio m=(a+b)/2 do intervalo atual [a,b]; avaliamos f(m) e substituímos a metade que contém a raiz (pela mudança de sinal). O tamanho do intervalo reduz pela metade a cada iteração.
  • Propriedade de erro do método da bisseção: após n iterações o comprimento do intervalo é (b-a)/2^{n}; a aproximação por m tem erro máximo absoluto menor ou igual a metade desse comprimento, isto é
\text{erro}_{\max}\le \frac{b-a}{2^{n+1}}.

Passo 4

Preparando para calcular: vou usar sempre 6 casas decimais quando for razoável apresentar números, mas manterei coerência com as fórmulas. Também usei como referência numérica a solução real (para comparar erros finais)
x^\star\approx 0{,}5671432904097838,
que é a solução exata numérica de e^{-x}=x (a constante Omega). Vou mostrar os cálculos iterativos do método da posição falsa com as avaliações de f e as atualizações do intervalo.
Dados iniciais:
a_0=0,\quad f(a_0)=1;\qquad b_0=1,\quad f(b_0)=e^{-1}-1\approx-0{,}6321205588285577.

Passo 5

Iteração 1 (posição falsa):
Usando a fórmula
c_1 = a_0 - f(a_0)\frac{b_0-a_0}{f(b_0)-f(a_0)} =0-\;1\cdot\frac{1-0}{f(1)-1} =\frac{1}{1+0{,}6321205588285577}.
Calculando numericamente:
c_1\approx 0{,}612699439.
Avaliação
f(c_1)=e^{-0{,}612699439}-0{,}612699439\approx -0{,}071358\\ (<0).
Como f(c_1)<0 e f(a_0)=1>0, a raiz está em [a_0,c_1]. Atualizo:
a_1=0,\quad b_1=c_1\approx0{,}612699439.
Comentário: já vimos uma redução significativa do erro: |c_1-x^\star|\approx0{,}045556.

Passo 6

Iteração 2 (posição falsa):
Agora a_1=0, f(a_1)=1 e b_1\approx0{,}612699439, f(b_1)\approx-0{,}071358. Uso a fórmula (caso a=0 simplificada):
c_2=\frac{b_1}{1-f(b_1)}.
Numericamente:
c_2\approx\frac{0{,}612699439}{1-(-0{,}071358)}=\frac{0{,}612699439}{1{,}071358}\approx0{,}571047972.
Avaliação
f(c_2)=e^{-0{,}571047972}-0{,}571047972\approx -0{,}0061146\\ (<0).
Como f(c_2)<0, atualizo:
a_2=0,\quad b_2=c_2\approx0{,}571047972.
Erro agora: |c_2-x^\star|\approx0{,}00390468. Observa que em apenas mais uma iteração o erro caiu cerca de dez vezes.

Passo 7

Iteração 3 (posição falsa):
Uso novamente a fórmula:
c_3=\frac{b_2}{1-f(b_2)}\approx\frac{0{,}571047972}{1-(-0{,}0061146)}=\frac{0{,}571047972}{1{,}0061146}\approx0{,}567143331.
Avaliação
f(c_3)=e^{-0{,}567143331}-0{,}567143331\approx -3{,}9\times10^{-8}.
Atualizo:
a_3=0,\quad b_3=c_3\approx0{,}567143331.
Erro: |c_3-x^\star|\approx 4{,}1\times10^{-8}. Está muito bom já na 3ª iteração.

Passo 8

Iteração 4 (posição falsa):
c_4=\frac{b_3}{1-f(b_3)}\approx\frac{0{,}567143331}{1-( -3{,}9\times10^{-8})} \approx\frac{0{,}567143331}{1{,}000000039}\approx0{,}56714329045.
Avaliação
f(c_4)\approx e^{-0{,}56714329045}-0{,}56714329045\approx -4\times10^{-11}.
Atualizo:
a_4=0,\quad b_4=c_4\approx0{,}56714329045.
Erro: |c_4-x^\star|\approx 6\times10^{-11} (aproximadamente).

Passo 9

Iteração 5 (posição falsa):
c_5=\frac{b_4}{1-f(b_4)}\approx\frac{0{,}56714329045}{1-( -4\times10^{-11})} \approx0{,}5671432904097838\\ (\text{valor com ainda mais precisão}).ã
Avaliação
f(c_5)\approx -1\times10^{-14}\\ \text{(aproximadamente)}.
Atualizo:
a_5=0,\quad b_5=c_5\approx0{,}5671432904097838.
Erro: |c_5-x^\star| agora está na ordem de 10^{-14}.

Passo 10

Iteração 6 (posição falsa):
c_6=\frac{b_5}{1-f(b_5)}\approx 0{,}5671432904097838\\ (\text{praticamente igual a }x^\star).
Avaliação numérica: f(c_6) torna-se numericamente zero dentro da precisão usual de máquina (ordem 10^{-16} ou menor).
Conclusão numérica: após 6 iterações a posição falsa fornece um valor com erro na ordem de 10^{-14} 10^{-16} (ou seja, praticamente a precisão da representação numérica usual). A convergência foi muito rápida neste caso particular porque um dos extremos ( a=0) teve f(a) relativamente grande e a interpolação da secante levou rapidamente ao ponto fixo.

Passo 11

Agora aplico o método da bisseção por 3 iterações (passo a passo), para comparar erros.
Dados iniciais: [a_0,b_0]=[0,1].
Iteração 1 (bisseção):
m_1=\frac{0+1}{2}=0{,}5,\quad f(0{,}5)=e^{-0{,}5}-0{,}5\approx0{,}60653066-0{,}5=0{,}10653066>0.
Troca-se o extremo direito:
[a_1,b_1]=[0{,}5,1].
Iteração 2:
m_2=\frac{0{,}5+1}{2}=0{,}75,\quad f(0{,}75)=e^{-0{,}75}-0{,}75\approx0{,}47236655-0{,}75=-0{,}27763345<0.
Intervalo com mudança de sinal: [a_2,b_2]=[0{,}5,0{,}75].
Iteração 3:
m_3=\frac{0{,}5+0{,}75}{2}=0{,}625,\quad f(0{,}625)=e^{-0{,}625}-0{,}625\approx0{,}53526143-0{,}625=-0{,}08973857<0.
Como f(0{,}5)>0 e f(0{,}625)<0, o novo intervalo é [0{,}5,0{,}625]. A aproximação por bisseção após 3 iterações é o ponto médio m_3=0{,}625.
Erro da bisseção (erro absoluto em relação ao x^\star):
|m_3-x^\star|=|0{,}625-0{,}5671432904097838|\approx 0{,}0578567095902162.
Observação: pelo argumento geral, após 3 iterações o comprimento do intervalo é 1/8=0{,}125 e o erro máximo garantido para o ponto médio é \le 0{,}0625; o erro calculado ~0,05786 está dentro desse limite.

Passo 12

Comparação dos erros:
  • Posição falsa, após 6 iterações: aproximação c_6\approx 0{,}5671432904097838 com erro absoluto da ordem de 10^{-14} 10^{-16} (praticamente a precisão numérica habitual). Mesmo já após 3 iterações a posição falsa tinha erro da ordem 4\times10^{-8}.
  • Bisseção, após 3 iterações: aproximação m_3=0{,}625 com erro absoluto \approx 0{,}0578567.
Interpretação intuitiva e incentivadora: aqui a posição falsa foi muito mais eficiente — convergiu extremamente rápido para a raiz verdadeira em poucas iterações, enquanto a bisseção progride de forma constante mas lenta (metade do intervalo a cada iteração). Em problemas práticos, regula falsi pode convergir muito rápido quando a função é relativamente bem comportada e a linha secante aproxima bem a raiz; bisseção garante robustez (sempre reduz o intervalo) mas é linear e, por isso, dormitório se a rapidez for necessária.

Resposta

Existe raiz em [0,1] porque f(0)=1>0 e f(1)\approx-0{,}6321205588<0.
Posição falsa (6 iterações): x\approx 0{,}5671432904097838 (erro absoluto \sim10^{-14} 10^{-16}).
Bisseção (3 iterações): x=0{,}625 com erro absoluto \approx 0{,}05785670959.

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