Aplique o método de Newton com 3 iterações, para as funçães abaixo, partindo do ponto dado.
a) f(x)=x^2-5 x+5 e x0=1.5.
b) f(x)=x^3-x-1 e x0=1.

Passo 1

Beleza, a questão pede pra gente usar o método de Newton em duas funções, fazendo 3 iterações a partir de um chute inicial. Isso é parte de Análise Numérica — a ideia é achar raiz de uma função usando derivada. Pra resolver a gente vai precisar da fórmula do método de Newton e das derivadas de cada função.

Passo 2

O método de Newton diz que, a cada passo, a gente atualiza
xn+1 ;=; xn ;-;f(xn)f'(xn),
Ou seja, calcula o valor da função e da derivada em e ajusta pra chegar mais perto da raiz.

Passo 3

Parte (a): f'(x)=2x-5, x1 = 1.5 - -0.25-2 = 1.5 - 0.125 = 1.375 .
Primeiro achamos a derivada:

Iteração 1 ( ):
-
-
- Logo

Passo 4

Ainda parte (a), iteração 2 ( x2 = 1.375 - 0.015625-2.25 = 1.375 + 0.00694444 approx 1.38194444 ):
  • Atualiza:

Passo 5

Parte (a), iteração 3 ( x3 = 1.38194444 - 0.00104778-2.23611112 approx 1.38194444 + 0.00046865 approx 1.38241309 ):
  • Então

Passo 6

Parte (b): f'(x)=3x^2-1, x1 = 1 - -12 = 1 + 0.5 = 1.5 .
Derivada:

Iteração 1 ( ):
-
-
-

Passo 7

Parte (b), iteração 2 ( x2 = 1.5 - 0.8755.75 approx 1.5 - 0.15217391 approx 1.34782609 ):

Passo 8

Parte (b), iteração 3 ( x3 = 1.34782609 - 0.10166194.451069 approx 1.34782609 - 0.0228393 approx 1.32498679 ):

Resposta

Após 3 iterações do método de Newton, as aproximações finais são:
a)
b)

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