Aplique o método do ponto fixo com 5 iterações, para as funções e fórmulas de recorrência abaixo, partindo do ponto dado.
a)
e
.
b)
e
.
a)
b)
Passo 1
Beleza, vamos lá. O enunciado pede pra usar o método do ponto fixo em duas funções, rodando 5 iterações cada, a partir de um chute inicial
. Isso faz parte da matéria de métodos numéricos (ou análise numérica), mais especificamente do método do ponto fixo. Para resolver, precisamos:
- Entender que, em vez de resolver
diretamente, a gente reescreve isso como - Fazer a iteração
- Substituir iterativamente até a 5ª vez e anotar cada valor.
Passo 2
Antes de cair nos cálculos, um toque teórico: no método do ponto fixo a gente quer encontrar um ponto
tal que
. A sequência definida por
tende a convergir pra esse
se
for “legal” (por exemplo, se
perto da raiz). Aqui vamos confiar que a função escolhida satisfaz essa condição e só iterar.
Passo 3
Parte (a):
Função original: .
Mapeamento de ponto fixo:
Função original:
Mapeamento de ponto fixo:
Agora é só calcular:
-
. -
. -
. -
. -
.
Passo 4
Parte (b):
Função original: .
Mapeamento:
Função original:
Mapeamento:
Agora:
-
. -
. -
. -
. -
.
Resposta
a) Depois de 5 iterações,
.
b) Depois de 5 iterações, .
b) Depois de 5 iterações,