Aplique o método do ponto fixo com 5 iterações, para as funções e fórmulas de recorrência abaixo, partindo do ponto dado.
a) f(x)=x^2-5 x+5, com phi(x)=x^25+1 e x0=1.5.
b) f(x)=x^3-x-1, com phi(x)=raiz[3]x+1 e x0=1.

Passo 1

Beleza, vamos lá. O enunciado pede pra usar o método do ponto fixo em duas funções, rodando 5 iterações cada, a partir de um chute inicial x = phi(x) . Isso faz parte da matéria de métodos numéricos (ou análise numérica), mais especificamente do método do ponto fixo. Para resolver, precisamos:
  1. Entender que, em vez de resolver xn+1 = phi(xn) diretamente, a gente reescreve isso como
  2. Fazer a iteração
  3. Substituir iterativamente até a 5ª vez e anotar cada valor.

Passo 2

Antes de cair nos cálculos, um toque teórico: no método do ponto fixo a gente quer encontrar um ponto xn+1 = phi(xn) tal que . A sequência definida por
tende a convergir pra esse se for “legal” (por exemplo, se perto da raiz). Aqui vamos confiar que a função escolhida satisfaz essa condição e só iterar.

Passo 3

Parte (a):
Função original: phi(x) = x^25 + 1, x0 = 1.5 .
Mapeamento de ponto fixo:
xn+1 = xn^25 + 1
Agora é só calcular:
  1. .
  2. .
  3. .
  4. .
  5. .

Passo 4

Parte (b):
Função original: phi(x) = raiz[3]x+1, x0 = 1 .
Mapeamento:
xn+1 = raiz[3],xn +1,
Agora:
  1. .
  2. .
  3. .
  4. .
  5. .

Resposta

a) Depois de 5 iterações, .
b) Depois de 5 iterações, .

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