Determinar as séries de Taylor, seus raios e intervalos de convergência para as funções abaixo, em torno dos pontos dados:
a)
;
b)
;
c)
;
a)
b)
c)
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra gente achar a série de Taylor de três funções em volta de pontos dados, descobrindo também o raio e o intervalo de convergência. Isso cai na parte de séries de potências / séries de Taylor da matéria de Cálculo II.
O que precisamos saber:
O que precisamos saber:
- A definição geral da série de Taylor em torno de
:
- Como calcular derivadas sucessivas da função.
- Como usar o teste da razão ou singularidades para achar o raio de convergência
. - Examinar os extremos do intervalo
pra ver se entram ou não.
Passo 2
Parte (a):
.
- Derivadas: toda derivada de
é igual a . Em isso vira . - Plugando na fórmula de Taylor (que aqui é Maclaurin, já que
):
- Raio de convergência: como
é função inteira (não tem singularidade finita), o raio é infinito, . - Intervalo de convergência é todo
: .
Passo 3
Parte (b):
.
- Derivadas:
Em
:
Também
.
2) Série de Taylor em torno de :
2) Série de Taylor em torno de
- Raio de convergência: a singularidade mais próxima de
está em (ln diverge lá), então . - Intervalo:
. - Em
não faz sentido (ln diverge), fica fora. - Em
a série vira , que converge (é a série alternada do ). Então intervalo é .
- Em
Passo 4
Parte ©:
.
- A gente reconhece
. Se chamar , fica para . - Voltando a
:
- Raio de convergência:
, pois a série geométrica só vale pra . - Intervalo:
. - Em
dá (explode), diverge. - Em
dá , tambem diverge.
Então intervalo aberto.
- Em
Resposta
a)
b)
c)
b)
c)