Determinar as séries de Taylor, seus raios e intervalos de convergência para as funções abaixo, em torno dos pontos dados:
a) f(x)=e^3 x, a=0;
b) f(x)=ln (x), a=e;
c) f(x)=1x, a=1

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente achar a série de Taylor de três funções em volta de pontos dados, descobrindo também o raio e o intervalo de convergência. Isso cai na parte de séries de potências / séries de Taylor da matéria de Cálculo II.
O que precisamos saber:
  1. A definição geral da série de Taylor em torno de f(x)=sumn=0^infty f^(n)(a)n!(x-a)^n :
  1. Como calcular derivadas sucessivas da função.
  2. Como usar o teste da razão ou singularidades para achar o raio de convergência .
  3. Examinar os extremos do intervalo pra ver se entram ou não.

Passo 2

Parte (a): e^3x=sumn=0^infty 3^nn!,x^n .
  1. Derivadas: toda derivada de é igual a . Em isso vira .
  2. Plugando na fórmula de Taylor (que aqui é Maclaurin, já que ):
  1. Raio de convergência: como é função inteira (não tem singularidade finita), o raio é infinito, .
  2. Intervalo de convergência é todo : .

Passo 3

Parte (b): f'(x)=1x, f''(x)=-1x^2, f^(n)(x)=(-1)^n-1,(n-1)!x^n(n>=1) .
  1. Derivadas:
f^(n)(e)=(-1)^n-1,(n-1)!e^n
Em ln(x) =1+sumn=1^infty f^(n)(e)n!(x-e)^n =1+sumn=1^infty (-1)^n-1(n-1)!n!,e^n(x-e)^n =1+sumn=1^infty (-1)^n-1n,e^n(x-e)^n :
Também .
2) Série de Taylor em torno de :
  1. Raio de convergência: a singularidade mais próxima de está em (ln diverge lá), então .
  2. Intervalo: .
    • Em não faz sentido (ln diverge), fica fora.
    • Em a série vira , que converge (é a série alternada do ). Então intervalo é .

Passo 4

Parte ©: 1x=sumn=0^infty(-1)^n(x-1)^n, |x-1|<1 .
  1. A gente reconhece . Se chamar , fica para .
  2. Voltando a :
  1. Raio de convergência: , pois a série geométrica só vale pra .
  2. Intervalo: .
    • Em (explode), diverge.
    • Em , tambem diverge.
      Então intervalo aberto .

Resposta

a)
b)
c)

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