Dado o sistema linear, resolva aplicando o Método de JACOB. Para isso use valores iniciais x0=[0,8000,8000,800] (realize os cálculos com três casas decimais critêrios de parada é Erro c=0,100 e k=2.
l 10 times 1+4 times 2-2 times 3=18 5 times 1+9 times 2+2 times 3=15 4 times 1+2 times 2+7 times 3=-10

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema linear usando o Método de Jacobi! Primeiro, o que é isso? É um método iterativo pra encontrar as soluções de um sistema de equações lineares. Aqui, a gente tem três equações com três incógnitas ( x1, x2, x3). Vamos usar valores iniciais x0 = [0, 8000, 8000] e seguimos o critério de parada com erro máximo de 0,100 e até 2 iterações. Vamos precisar reescrever as equações para expressar cada variável em função das outras.

Passo 2

O Método de Jacobi funciona assim: a cada iteração, a gente calcula cada variável usando os valores da iteração anterior. Primeiro, vamos isolar cada variável nas equações:
  1. Da primeira equação: 10x1 + 4x2 - 2x3 = 18
    Isolando x1:
    x1 = 18 - 4x2 + 2x310
  2. Da segunda equação: 5x1 + 9x2 + 2x3 = 15
    Isolando x2:
    x2 = 15 - 5x1 - 2x39
  3. Da terceira equação: 4x1 + 2x2 + 7x3 = -10
    Isolando x3:
    x3 = -10 - 4x1 - 2x27

Passo 3

Vamos começar com os valores iniciais: x1^(0) = 0, x2^(0) = 8000, x3^(0) = 8000.
Primeira Iteração ( k=1):
  1. Calculando x1^(1):
    x1^(1) = 18 - 4(8000) + 2(8000)10 = 18 - 32000 + 1600010 = -16000 + 1810 = -1598210 = -1598,2
  2. Calculando x2^(1):
    x2^(1) = 15 - 5(0) - 2(8000)9 = 15 - 0 - 160009 = -159859 approx -1776,111
  3. Calculando x3^(1):
    x3^(1) = -10 - 4(0) - 2(8000)7 = -10 - 0 - 160007 = -160107 approx -2287,143
Verificando o erro para parar:
Vamos calcular a diferença entre os valores antigos e novos:
  • Para x1: | -1598,2 - 0 | = 1598,2
  • Para x2: | -1776,111 - 8000 | = 9776,111
  • Para x3: | -2287,143 - 8000 | = 10287,143
Todos os erros são maiores que 0,100, então precisamos de mais iterações.

Passo 4

Segunda Iteração ( k=2):
Usamos os valores de k=1 para calcular os novos valores.
  1. Calculando x1^(2):
    x1^(2) = 18 - 4(-1776,111) + 2(-2287,143)10 = 18 + 7104,444 - 4574,28610 = (18 + 7104,444) - 4574,28610 = 7122,444 - 4574,28610 = 2548,15810 = 254,816
  2. Calculando x2^(2):
    x2^(2) = 15 - 5(-1598,2) - 2(-2287,143)9 = 15 + 7991 - (-4574,286)9 = 15 + 7991 + 4574,2869 = 12580,2869 approx 1397,809
  3. Calculando x3^(2):
    x3^(2) = -10 - 4(-1598,2) - 2(-1776,111)7 = -10 + 6392,8 + 3552,2227 = ( -10 + 6392,8 ) + 3552,2227 = 6382,8 + 3552,2227 = 9935,0227 approx 1419,288
Verificando o erro para parar:
Diferenças entre k=2 e k=1:
  • Para x1: |254,816 - (-1598,2)| = 1853,016
  • Para x2: |1397,809 - (-1776,111)| = 3173,920
  • Para x3: |1419,288 - (-2287,143)| = 3706,431
Ainda, todos os erros são maiores que 0,100, mas como o critério é parar após 2 iterações, vamos encerrar aqui.

Resposta

Após 2 iterações do Método de Jacobi, as aproximações para as variáveis são:
x1 approx 254,816 x2 approx 1397,809 x3 approx 1419,288

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