Aplique o Método do Ponto Fixo para calcular a raiz de x^{2}-5=0 \operatorname{com} \varepsilon=10^{-2}.
partindo do intervalo inicial 2,3.

Passo 1

O enunciado pede para resolver
x^{2}-5=0
usando o Método do Ponto Fixo com tolerância \varepsilon=10^{-2} e chute inicial no intervalo [2,3].
O método do Ponto Fixo consiste em reescrever f(x)=0 na forma
x = g(x)
e então iterar
x_{n+1} = g(x_n)
até que \bigl|x_{n+1}-x_n\bigr|<\varepsilon.

Passo 2

Escolhemos a função
g(x)=\frac{x + \tfrac{5}{x}}{2},
que corresponde à iteração de Newton para \sqrt{5}. Em seguida calculamos sua derivada:
g'(x) =\frac{1}{2}\Bigl(1 - \frac{5}{x^{2}}\Bigr).

Passo 3

Verificamos as condições de convergência em [2,3]:
  1. Para todo x\in[2,3], g'(2)=\tfrac12\bigl(1-\tfrac{5}{4}\bigr)=-0,125, \qquad g'(3)=\tfrac12\bigl(1-\tfrac{5}{9}\bigr)\approx0,222.Logo \bigl|g'(x)\bigr|\le0,222<1, ou seja, g é contração.
  2. Para todo x\in[2,3], g(x)\in\Bigl[\frac{2+\tfrac{5}{2}}{2},\,\frac{3+\tfrac{5}{3}}{2}\Bigr] =[2,25,\;2{,}333\ldots]\subset[2,3].
Assim, a iteração converge para a única raiz em [2,3].

Passo 4

Tomamos como chute inicial o ponto médio
x_{0}=2{,}5.
Calculamos as iterações até \bigl|x_{n+1}-x_n\bigr|<10^{-2}:
x_{1}=g(x_{0}) =\frac{2{,}5 + \tfrac{5}{2{,}5}}{2} =2{,}25, \quad |x_{1}-x_{0}|=0{,}25;
x_{2}=g(x_{1}) =\frac{2{,}25 + \tfrac{5}{2{,}25}}{2} \approx2{,}236111, \quad |x_{2}-x_{1}|\approx0{,}013889;
x_{3}=g(x_{2}) =\frac{2{,}236111 + \tfrac{5}{2{,}236111}}{2} \approx2{,}236067, \quad |x_{3}-x_{2}|\approx0{,}000044<10^{-2}.

Resposta

A iteração estabiliza em
x\approx2{,}23607
para \varepsilon=10^{-2}.

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