Aplique o Método do Ponto Fixo para calcular a raiz de x^{2}-5=0 \operatorname{com} \varepsilon=10^{-2}.
partindo do intervalo inicial 2,3.
Passo 1
O enunciado pede para resolver
x^{2}-5=0
usando o Método do Ponto Fixo com tolerância \varepsilon=10^{-2} e chute inicial no intervalo [2,3].
O método do Ponto Fixo consiste em reescrever f(x)=0 na forma
x = g(x)
e então iterar
x_{n+1} = g(x_n)
até que \bigl|x_{n+1}-x_n\bigr|<\varepsilon.
Passo 2
Escolhemos a função
g(x)=\frac{x + \tfrac{5}{x}}{2},
que corresponde à iteração de Newton para \sqrt{5}. Em seguida calculamos sua derivada:
Verificamos as condições de convergência em [2,3]:
Para todo x\in[2,3],g'(2)=\tfrac12\bigl(1-\tfrac{5}{4}\bigr)=-0,125, \qquad g'(3)=\tfrac12\bigl(1-\tfrac{5}{9}\bigr)\approx0,222.Logo \bigl|g'(x)\bigr|\le0,222<1, ou seja, g é contração.
Para todo x\in[2,3],g(x)\in\Bigl[\frac{2+\tfrac{5}{2}}{2},\,\frac{3+\tfrac{5}{3}}{2}\Bigr] =[2,25,\;2{,}333\ldots]\subset[2,3].
Assim, a iteração converge para a única raiz em [2,3].
Passo 4
Tomamos como chute inicial o ponto médio
x_{0}=2{,}5.
Calculamos as iterações até \bigl|x_{n+1}-x_n\bigr|<10^{-2}: