Determine a raiz de f(x)=\cos x+\ln x+x=0 com \varepsilon=10^{-2} e \bar{x} \in[0.1,0.5], utilizando os seguintes métodos numéricos:
Método da Posição Falsa;

Passo 1

O enunciado pede para aproximar a raiz de
f(x) = \cos x + \ln x + x = 0
no intervalo [0{,}1,\,0{,}5] usando o método da Posição Falsa até que a diferença entre duas aproximações sucessivas seja menor que \varepsilon = 10^{-2}. Vamos precisar de:
– Avaliar f nos extremos do intervalo para garantir que haja troca de sinal.
– Aplicar repetidamente a fórmula da Posição Falsa
x_r \;=\; b \;-\; f(b)\,\frac{a - b}{f(a) - f(b)}
atualizando o intervalo [a,b] conforme o sinal de f(x_r).
– Parar quando \bigl|x_r^{(k)} - x_r^{(k-1)}\bigr| < 10^{-2}.

Passo 2

Avalio os extremos iniciais:
f(0{,}1) = \cos(0{,}1) + \ln(0{,}1) + 0{,}1 \approx 0{,}9950 - 2{,}3026 + 0{,}1 = -1{,}2076,
f(0{,}5) = \cos(0{,}5) + \ln(0{,}5) + 0{,}5 \approx 0{,}8776 - 0{,}6931 + 0{,}5 = 0{,}6844.
Como f(0{,}1)\cdot f(0{,}5)<0, há uma raiz em [0{,}1,\,0{,}5].

Passo 3

1ª iteração: a=0{,}1,\;b=0{,}5.
x_1 = 0{,}5 \;-\; 0{,}6844\,\frac{0{,}1 - 0{,}5}{-1{,}2076 - 0{,}6844} \approx 0{,}3553.
Calculo
f(0{,}3553)\approx 0{,}9372 -1{,}0355 +0{,}3553 = 0{,}2570>0,
então o novo intervalo é [0{,}1,\,0{,}3553].

Passo 4

2ª iteração: a=0{,}1,\;b=0{,}3553.
x_2 = 0{,}3553 \;-\; 0{,}2570\,\frac{0{,}1 - 0{,}3553}{-1{,}2076 - 0{,}2570} \approx 0{,}3105.
Calculo
f(0{,}3105)\approx 0{,}9522 -1{,}1710 +0{,}3105 = 0{,}0917>0,
logo o intervalo passa a ser [0{,}1,\,0{,}3105].

Passo 5

3ª iteração: a=0{,}1,\;b=0{,}3105.
x_3 = 0{,}3105 \;-\; 0{,}0917\,\frac{0{,}1 - 0{,}3105}{-1{,}2076 - 0{,}0917} \approx 0{,}2957,
f(0{,}2957)\approx 0{,}9566 -1{,}2176 +0{,}2957 = 0{,}0347>0,
novo intervalo [0{,}1,\,0{,}2957].

Passo 6

4ª iteração: a=0{,}1,\;b=0{,}2957.
x_4 = 0{,}2957 \;-\; 0{,}0347\,\frac{0{,}1 - 0{,}2957}{-1{,}2076 - 0{,}0347} \approx 0{,}2902.
Calculo
f(0{,}2902)\approx 0{,}9581 -1{,}2372 +0{,}2902 = 0{,}0111>0,
e a diferença \bigl|x_4 - x_3\bigr| = |0{,}2902 - 0{,}2957| = 0{,}0055 < 10^{-2}. Portanto atingimos a tolerância.

Resposta

A aproximação da raiz obtida pelo método da Posição Falsa com \varepsilon=10^{-2} é
\boxed{0{,}29}.

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