Determine a raiz de f(x)=\cos x+\ln x+x=0 com \varepsilon=10^{-2} e \bar{x} \in[0.1,0.5], utilizando os seguintes métodos numéricos:
Método do Ponto Fixo.

Passo 1

O enunciado pede a raiz da função
f(x)=\cos x + \ln x + x = 0
no intervalo [0{,}1,0{,}5] com precisão \varepsilon=10^{-2}, usando o método do ponto fixo.
O conteúdo aqui é transformar f(x)=0 numa iteração x = g(x), mostrar que g é contração em [0{,}1,0{,}5] e iterar até |x_{n+1}-x_n|<10^{-2}.

Passo 2

Escolhemos reescrever
\ln x = -\cos x - x
e, aplicando exponencial, definimos
g(x) = \exp\bigl(-\cos x - x\bigr),
de modo que a raiz de f seja ponto fixo de g. Para verificar convergência, calculamos
g'(x) = \exp\bigl(-\cos x - x\bigr)\,(\sin x - 1).
Em [0{,}1,0{,}5] temos 0<\exp(-\cos x - x)\le e^{-(\cos0{,}1+0{,}1)}<1 e \sin x-1<0, logo \lvert g'(x)\rvert<1 em todo o intervalo, garantindo convergência do método.

Passo 3

Escolhemos como chute inicial x_0=0{,}3\in[0{,}1,0{,}5] e aplicamos a iteração
x_{n+1} = g(x_n) = \exp\bigl(-\cos x_n - x_n\bigr)
até \lvert x_{n+1}-x_n\rvert<10^{-2}.

Passo 4

Calculamos duas iterações:
x_1 = \exp\bigl(-\cos0{,}3 - 0{,}3\bigr)\approx \exp(-0{,}9553 - 0{,}3)\approx0{,}2850,
\lvert x_1 - x_0\rvert = |0{,}2850 - 0{,}3000| = 0{,}0150 > 10^{-2},
então continuamos:
x_2 = \exp\bigl(-\cos0{,}2850 - 0{,}2850\bigr)\approx \exp(-0{,}9597 - 0{,}2850)\approx0{,}2887,
\lvert x_2 - x_1\rvert = |0{,}2887 - 0{,}2850| = 0{,}0037 < 10^{-2}.
Como a diferença ficou abaixo de \varepsilon, paramos a iteração.

Resposta

A aproximação da raiz por ponto fixo é
\bar x \approx 0{,}289.

Exercícios relacionados