Calcule pelo menos uma raiz real das equações abaixo, \operatorname{com} \varepsilon=10^{-3}, usando o Método de Newton.
x^{3}-\cos x=0

Passo 1

O enunciado pede que a gente encontre pelo menos uma raiz real da equação
x^{3}-\cos x = 0
usando o Método de Newton com tolerância \varepsilon=10^{-3}.

Passo 2

No Método de Newton, a iteração é dada por
x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)},
onde aqui
f(x) = x^3 - \cos x
e
f'(x) = 3x^2 + \sin x.

Passo 3

Para escolher um chute inicial, notamos que
f(0) = -\cos(0) = -1 < 0
e
f(1) = 1 - \cos(1) \approx 0{,}4597 > 0,
logo há uma raiz em (0,1). Vamos usar x_0 = 1.

Passo 4

Aplicamos a fórmula de Newton até que \lvert x_{n+1}-x_n\rvert<10^{-3}. As iterações são:
Para x_0 = 1:
f(x_0) = 1 - \cos(1) \approx 0{,}4597,\quad f'(x_0) = 3 + \sin(1) \approx 3{,}8415,
x_1 = 1 - \frac{0{,}4597}{3{,}8415} \approx 0{,}8804.
Para x_1 = 0{,}8804:
f(x_1) = 0{,}8804^3 - \cos(0{,}8804) \approx 0{,}0470,\quad f'(x_1) = 3\cdot0{,}8804^2 + \sin(0{,}8804) \approx 3{,}0933,
x_2 = 0{,}8804 - \frac{0{,}0470}{3{,}0933} \approx 0{,}8651.
Para x_2 = 0{,}8651:
f(x_2) = 0{,}8651^3 - \cos(0{,}8651) \approx -0{,}00003,\quad f'(x_2) = 3\cdot0{,}8651^2 + \sin(0{,}8651) \approx 3{,}0066,
x_3 = 0{,}8651 - \frac{-0{,}00003}{3{,}0066} \approx 0{,}86516.
Como
\lvert x_3 - x_2\rvert \approx 6\times10^{-5} < 10^{-3},
atingimos a tolerância e paramos a iteração.

Resposta

A raiz aproximada é
x \approx 0{,}865.

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