Para encontrar a raiz quadrada de um número A positivo, basta encontrar um zero da função f(x)=x^2-A. Se A=7, aplique o MNR para encontrar uma aproximação para raiz7 in[2,3], com apenas 3 iterações.

Passo 1

Beleza, o problema é: “Achar f(x)=x^2-7 ” usando o Método de Newton–Raphson (MNR). A ideia é transformar isso em encontrar uma raiz da função
f'(x)=2x
ou seja, achar tal que . Pra usar o MNR a gente precisa de e da sua derivada . Aqui
Vamos começar com um chute inicial dentro de (por exemplo ) e fazer 3 iterações.

Passo 2

O Método de Newton diz que
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn)
Com f(x0)=2.5^2-7=-0.75, f'(x0)=2cdot2.5=5 :
x1 = 2.5 - -0.755 = 2.5 + 0.15 = 2.65
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Passo 3

Agora f(x1)=2.65^2-7=0.0225, f'(x1)=2cdot2.65=5.3 :
x2 = 2.65 - 0.02255.3 approx 2.645754717
Então

Passo 4

Finalmente, com f(x2)approx(2.645754717)^2-7approx0.00001085, f'(x2)approx2cdot2.645754717approx5.291509434 :
x3 = 2.645754717 - 0.000010855.291509434 approx 2.645751311

Resposta

Após 3 iterações, obtemos
boxedraiz7approx 2.645751311

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