Aplique o método das secantes para encontrar a raiz da função
no intervalo
, com pontos iniciais
e
, e tolerância
.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado.
- Função:
. - Intervalo informado:
(apenas para contextualizar; os pontos iniciais estão dentro deste intervalo). - Pontos iniciais para o método das secantes:
e . - Critério de parada:
, com .
Pergunta: aplicar o método das secantes com esses pontos iniciais até obter uma iteração
tal que
. Vou apresentar cada iteração passo a passo, explicando as fórmulas e as contas para você conseguir reproduzir na prova.
Passo 2
O método das secantes — ideia e fórmula.
- Ideia: aproximar a curva
por uma reta que passa por dois pontos e ; a interseção dessa reta com o eixo dá a próxima aproximação . - Fórmula (obtida por interpolação linear entre os dois pontos):
Explicando as variáveis:
e
são as duas últimas aproximações conhecidas;
e
são os valores da função nesses pontos;
é a nova aproximação obtida pela interseção da secante com o eixo
.
Passo 3
Avaliar a função nos pontos iniciais.
- Calcular
com :
- Calcular
com :
Observação rápida: ambos os valores são positivos — não há problema para aplicar o método das secantes; apenas não estamos no caso clássico de ponto inicial que faça troca de sinal, mas o método ainda pode convergir.
Passo 4
Computar
usando a fórmula da secante (usando
e
).
Aplicando a fórmula:
Substituindo números:
Calcular a fração:
Portanto
Agora avaliar
. Primeiro o quadrado e o cubo (detalhando para você ver como calcular sem calculadora, aprox. mantidas casas decimais suficientes):
Logo
Verificação do critério:
, que é maior que
. Então ainda não paramos — precisamos de mais iterações.
Passo 5
Computar
usando agora os pontos
e
.
Aplicando a fórmula:
Substituindo os valores já calculados:
Calcular passo a passo:
O numerador da fração é
A razão é
Portanto
Avaliar
. Primeiro o quadrado e o cubo (feito com o truque de usar a relação entre
e
para facilitar os cálculos):
Logo
Passo 6
Checar o critério de parada.
- Encontramos
. - Como
, o critério foi satisfeito na iteração .
Portanto podemos parar e tomarcomo a aproximação da raiz requerida.
Passo 7
Interpretação final e dica para prova.
- A raiz real exata de
é ; o método das secantes convergiu rapidamente para perto desse valor. - Na prova: escreva claramente os
, os , aplique a fórmula da secante e verifique o critério . Mostre as contas de potência (quadrado e cubo) e mantenha arredondamento consistente para não perder o controle do erro. - Incentivo: deu trabalho, mas você já fez o passo mais importante — seguir a fórmula e checar a tolerância. Vai dar certo!