Aplique o método das secantes para encontrar a raiz da função f(x)=x^{3}-2 no intervalo [1,2], com pontos iniciais x_{0}=1,3 e x_{1}=1,6, e tolerância \left|f\left(x_{n}\right)\right|< \varepsilon=10^{-2}.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado.
  • Função: f(x)=x^{3}-2.
  • Intervalo informado: [1,2] (apenas para contextualizar; os pontos iniciais estão dentro deste intervalo).
  • Pontos iniciais para o método das secantes: x_{0}=1,3 e x_{1}=1,6.
  • Critério de parada: \left|f\left(x_{n}\right)\right|<\varepsilon, com \varepsilon=10^{-2}.
Pergunta: aplicar o método das secantes com esses pontos iniciais até obter uma iteração x_{n} tal que \left|f\left(x_{n}\right)\right|<10^{-2}. Vou apresentar cada iteração passo a passo, explicando as fórmulas e as contas para você conseguir reproduzir na prova.

Passo 2

O método das secantes — ideia e fórmula.
  • Ideia: aproximar a curva y=f(x) por uma reta que passa por dois pontos (x_{n-1},f(x_{n-1})) e (x_{n},f(x_{n})); a interseção dessa reta com o eixo x dá a próxima aproximação x_{n+1}.
  • Fórmula (obtida por interpolação linear entre os dois pontos):
x_{n+1}=x_{n}-f(x_{n})\frac{x_{n}-x_{n-1}}{f(x_{n})-f(x_{n-1})}.
Explicando as variáveis: x_{n-1} e x_{n} são as duas últimas aproximações conhecidas; f(x_{n-1}) e f(x_{n}) são os valores da função nesses pontos; x_{n+1} é a nova aproximação obtida pela interseção da secante com o eixo x.

Passo 3

Avaliar a função nos pontos iniciais.
  • Calcular f(x_{0}) com x_{0}=1,3:
f(1,3)=(1,3)^{3}-2=2,197-2=0,197.
  • Calcular f(x_{1}) com x_{1}=1,6:
f(1,6)=(1,6)^{3}-2=4,096-2=2,096.
Observação rápida: ambos os valores são positivos — não há problema para aplicar o método das secantes; apenas não estamos no caso clássico de ponto inicial que faça troca de sinal, mas o método ainda pode convergir.

Passo 4

Computar x_{2} usando a fórmula da secante (usando x_{0} e x_{1}).
Aplicando a fórmula:
x_{2}=x_{1}-f(x_{1})\frac{x_{1}-x_{0}}{f(x_{1})-f(x_{0})}.
Substituindo números:
x_{2}=1,6-2,096\cdot\frac{1,6-1,3}{2,096-0,197} =1,6-2,096\cdot\frac{0,3}{1,899}.
Calcular a fração:
\frac{0,3\cdot 2,096}{1,899}=\frac{0,6288}{1,899}\approx0,3314.
Portanto
x_{2}\approx1,6-0,3314=1,2686.
Agora avaliar f(x_{2}). Primeiro o quadrado e o cubo (detalhando para você ver como calcular sem calculadora, aprox. mantidas casas decimais suficientes):
(1,2686)^{2}=1,60934596,
(1,2686)^{3}=(1,2686)^{2}\cdot1,2686\approx1,60934596\cdot1,2686\approx2,041616285.
Logo
f(1,2686)=(1,2686)^{3}-2\approx2,041616285-2=0,041616285.
Verificação do critério: \left|f(x_{2})\right|\approx0,0416, que é maior que \varepsilon=0,01. Então ainda não paramos — precisamos de mais iterações.

Passo 5

Computar x_{3} usando agora os pontos x_{1}=1,6 e x_{2}=1,2686.
Aplicando a fórmula:
x_{3}=x_{2}-f(x_{2})\frac{x_{2}-x_{1}}{f(x_{2})-f(x_{1})}.
Substituindo os valores já calculados:
x_{3}=1,2686-0,041616285\cdot\frac{1,2686-1,6}{0,041616285-2,096}.
Calcular passo a passo:
x_{2}-x_{1}=1,2686-1,6=-0,3314,
f(x_{2})-f(x_{1})=0,041616285-2,096=-2,054383715.
O numerador da fração é
0,041616285\cdot(-0,3314)=-0,013795\\ (\text{aprox.}).
A razão é
\frac{-0,013795}{-2,054383715}\approx0,0067139.
Portanto
x_{3}\approx1,2686-0,0067139=1,2618861.
Avaliar f(x_{3}). Primeiro o quadrado e o cubo (feito com o truque de usar a relação entre x_{3} e x_{2} para facilitar os cálculos):
(1,2618861)^{2}\approx1,59233923,
(1,2618861)^{3}=(1,2618861)^{2}\cdot1,2618861\approx1,59233923\cdot1,2618861\approx2,0093533.
Logo
f(1,2618861)=(1,2618861)^{3}-2\approx2,0093533-2=0,0093533.

Passo 6

Checar o critério de parada.
  • Encontramos \left|f(x_{3})\right|\approx0,0093533.
  • Como 0,0093533<\varepsilon=0,01, o critério \left|f(x_{n})\right|<10^{-2} foi satisfeito na iteração n=3.
    Portanto podemos parar e tomar x_{3} como a aproximação da raiz requerida.

Passo 7

Interpretação final e dica para prova.
  • A raiz real exata de x^{3}-2=0 é \sqrt[3]{2}\approx1,26; o método das secantes convergiu rapidamente para perto desse valor.
  • Na prova: escreva claramente os x_{n}, os f(x_{n}), aplique a fórmula da secante e verifique o critério \left|f(x_{n})\right|<\varepsilon. Mostre as contas de potência (quadrado e cubo) e mantenha arredondamento consistente para não perder o controle do erro.
  • Incentivo: deu trabalho, mas você já fez o passo mais importante — seguir a fórmula e checar a tolerância. Vai dar certo!

Resposta

x\approx1,2618861

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