Exercícios da Seção 11.1:3-12, 13-18, 19-22, 23-56
Encontre a fórmula para o termo geral a_{n} da sequência, assumindo que o padrão dos primeiros continue.

Passo 1

O enunciado pede: “Encontre a fórmula para o termo geral a_{n} da sequência, assumindo que o padrão dos primeiros continue.” O pedido lista exercícios (Seção 11.1: 3–12, 13–18, 19–22, 23–56), mas NÃO foram fornecidos os termos das sequências correspondentes a esses números. Informações dadas:
  • A instrução geral do exercício: encontrar a fórmula do termo geral a_{n} a partir dos primeiros termos, assumindo padrão.
  • NÃO há os primeiros termos de nenhuma sequência anexados aqui.
    Portanto, com os dados recebidos não há como calcular fórmulas específicas para os exercícios listados.

Passo 2

O que dá para fazer aqui (útil para a prova): explico passo a passo os métodos mais comuns para identificar a fórmula de a_{n} a partir dos primeiros termos. Assim, quando você tiver os termos de qualquer uma das questões, você poderá aplicar esse roteiro. Primeiro um roteiro rápido e prático que funciona quase sempre:
  1. Observe os primeiros termos a_{1},a_{2},a_{3},\dots.
  2. Calcule diferenças consecutivas a_{2}-a_{1},\\ a_{3}-a_{2},\dots.
  3. Calcule razões consecutivas \dfrac{a_{2}}{a_{1}},\\ \dfrac{a_{3}}{a_{2}},\dots.
  4. Verifique sinais alternados (padrões com (-1)^{n} ou (-1)^{n-1}).
  5. Se as diferenças convergirem para uma constante no k-ésimo nível, considere um polinômio de grau k.
  6. Se parecer restar uma relação do tipo a_{n}=c_{1}a_{n-1}+c_{2}a_{n-2}+\dots, trate como recorrência linear e resolva por equação característica.
    Vou agora detalhar cada caso com fórmulas e exemplos.

Passo 3

Sequência aritmética — identificação e fórmula.
  • Como identificar: as diferenças consecutivas são constantes. Ou seja, existe d tal que
a_{n+1}-a_{n}=d\quad\text{para todo }n.
  • Fórmula do termo geral: se a_{1} é o primeiro termo e d a razão (diferença), então
a_{n}=a_{1}+(n-1)d.
  • Como encontrar d: calcule d=a_{2}-a_{1} (ou qualquer diferença consecutiva).
  • Exemplo passo a passo: termos 2,5,8,11,\dots.
    • Calcular diferenças: 5-2=3,\\\ 8-5=3 constantes \Rightarrow d=3.
    • Aplicar fórmula: a_{n}=2+(n-1)\cdot3=3n-1.
      Fácil de fazer na prova: veja dois pares consecutivos, subtraia. Se for constante, é aritmética.

Passo 4

Sequência geométrica — identificação e fórmula.
  • Como identificar: as razões consecutivas são constantes. Ou seja, existe r tal que
\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=r\quad\text{para todo }n,\quad a_{n}\neq0.
  • Fórmula do termo geral: se a_{1} é o primeiro termo e r a razão, então
a_{n}=a_{1}r^{\,n-1}.
  • Como encontrar r: calcule r=\dfrac{a_{2}}{a_{1}}.
  • Exemplo passo a passo: termos 3,6,12,24,\dots.
    • Razões: 6/3=2,\\\ 12/6=2 constantes \Rightarrow r=2.
    • Fórmula: a_{n}=3\cdot2^{\,n-1}.

Passo 5

Sequências polinomiais (grau 2 — quadráticas) e diferenças finitas.
  • Como identificar: calcule primeiras diferenças \Delta a_{n}=a_{n+1}-a_{n} e segundas diferenças \Delta^{2}a_{n}=\Delta a_{n+1}-\Delta a_{n}. Se \Delta^{2}a_{n} for constante, a sequência é dada por um polinômio de grau 2.
  • Forma geral de um polinômio de grau 2:
a_{n}=An^{2}+Bn+C.
  • Relação com diferenças: se a segunda diferença constante for D, então
A=\frac{D}{2}.
Depois, use os valores de a_{1} e a_{2} (ou um sistema com três termos) para achar B e C.
  • Procedimento prático:
    1. Calcule \Delta a_{1}=a_{2}-a_{1}, \Delta a_{2}=a_{3}-a_{2}.
    2. Calcule \Delta^{2}a_{1}=\Delta a_{2}-\Delta a_{1}=D.
    3. Então A=D/2. Substitua em A\cdot1^{2}+B\cdot1+C=a_{1} e em A\cdot2^{2}+B\cdot2+C=a_{2} para resolver B e C.
  • Exemplo: termos 1,4,9,16,\dots.
    • \Delta: 4-1=3,\\\ 9-4=5,\\\ 16-9=7.
    • \Delta^{2}: 5-3=2,\\\ 7-5=2 constantes \Rightarrow D=2.
    • A=D/2=1. Usar a_{1}=1: 1\cdot1^{2}+B\cdot1+C=1\Rightarrow 1+B+C=1\Rightarrow B+C=0.
    • Usar a_{2}=4: 1\cdot4+B\cdot2+C=4\Rightarrow 4+2B+C=4\Rightarrow 2B+C=0.
    • Resolver sistema B+C=0,\\\ 2B+C=0 B=0,\\ C=0.
    • Resultado: a_{n}=n^{2}.

Passo 6

Diferenças finitas de ordem superior e fórmula de Newton (polinômios grau k).
  • Se a primeira constante aparecer na k-ésima diferença, então a sequência é um polinômio de grau k.
  • Forma prática (fórmula de Newton para progressões de diferenças):
a_{n}= \Delta^{0}a_{1} + \Delta^{1}a_{1}\binom{n-1}{1} + \Delta^{2}a_{1}\binom{n-1}{2} + \dots + \Delta^{k}a_{1}\binom{n-1}{k},
onde \Delta^{j}a_{1} é a j-ésima diferença iniciada no primeiro termo e \binom{n-1}{j} é o coeficiente binomial.
  • Isso é muito útil na prova porque evita resolver sistemas lineares: calcule a “tabela de diferenças” e aplique a fórmula acima.

Passo 7

Padrões com sinais alternados e fator (-1)^{n}.
  • Quando os sinais alternam, experimente escrever o termo como produto de (-1)^{n} (ou (-1)^{n-1}) e outra sequência que apresente fácil padrão.
  • Exemplos:
    • 1,-1,1,-1,\dots tem a_{n}=(-1)^{n-1}.
    • 2,-4,8,-16,\dots tem a_{n}=2\cdot(-2)^{\,n-1} (ou a_{n}=2(-1)^{n-1}2^{\,n-1}).

Passo 8

Sequências definidas por recorrência (ex.: Fibonacci) e como resolvê-las.
  • Se a sequência satisfaz uma relação linear com coeficientes constantes, por exemplo
a_{n}=c_{1}a_{n-1}+c_{2}a_{n-2},
então resolva a equação característica \lambda^{2}-c_{1}\lambda-c_{2}=0. As raízes \lambda_{1},\lambda_{2} determinam a forma geral:
  • Se raízes distintas: a_{n}=A\lambda_{1}^{\,n}+B\lambda_{2}^{\,n}.
  • Se raiz dupla \lambda: a_{n}=(A+Bn)\lambda^{\,n}.
  • Exemplo simples (Fibonacci): a_{n}=a_{n-1}+a_{n-2} com a_{1}=1,\\ a_{2}=1. A solução fechada envolve as raízes \varphi e \psi de \lambda^{2}-\lambda-1=0:
a_{n}=\frac{\varphi^{n}-\psi^{n}}{\varphi-\psi},\quad \varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2},\\ \psi=\frac{1-\sqrt{5}}{2}.
  • Para a prova: identifique se os primeiros termos obedecem a a_{n} como soma linear de anteriores; tente montar a equação característica.

Passo 9

Outros padrões (fatorial, potências, formas mistas) e como reconhecê-los.
  • Se os termos crescem muito rápido e a razão não é constante, experimente ver se \dfrac{a_{n+1}}{a_{n}} cresce aproximadamente como n (sugerindo fatoriais) ou como uma base fixa (sugerindo geométrica).
  • Sequências como 1,2,6,24,120,\dots são a_{n}=n!.
  • Sequências como 1,4,27,256,\dots são a_{n}=n^{n} (ou n^{3} etc — comparar crescimentos).
  • Se houver produto por n ou combinação polinomial com fatorial, tente dividir termo a termo por um componente simples e ver o padrão restante.

Passo 10

Checklist rápido para aplicar na prova (passo a passo quando tiver os termos):
  1. Anote a_{1},a_{2},a_{3},a_{4} (pelo menos quatro, preferencialmente cinco).
  2. Calcule diferenças: \Delta a, \Delta^{2}a, \Delta^{3}a até achar constante — se achar, use Passos 5–6.
  3. Calcule razões \dfrac{a_{n+1}}{a_{n}} — se constantes, use Passo 4.
  4. Verifique sinais alternados — use Passo 7.
  5. Tente ver se a_{n} pode ser escrito como combinação linear de termos anteriores — use Passo 8.
  6. Se nenhum método simples funcionar, pense em sequências conhecidas (triangular, quadrados, cubos, fatoriais, potências, somas parciais) e compare.
  7. Uma vez identificado o tipo, escreva a fórmula e verifique com os primeiros 4–5 termos.

Passo 11

Exemplos adicionais rápidos (para treinar mentalmente):
  • Exemplo A: 5,8,11,14,\dots — diferenças 3,3,3 → aritmética a_{n}=5+(n-1)\cdot3=3n+2.
  • Exemplo B: -2,4,-8,16,\dots — razões -2,-2,-2 → geométrica a_{n}=-2\cdot(-2)^{\,n-1}=(-2)^{\,n}.
  • Exemplo C: 2,5,10,17,26,\dots — diferenças 3,5,7,9 e segundas diferenças 2,2,2 → quadrática. Aqui D=2\Rightarrow A=1. Usando a_{1}=2 e a_{2}=5 conclui-se a_{n}=n^{2}+1 (verifique substituindo n=1\Rightarrow2, n=2\Rightarrow5, etc).

Passo 12

Resumo e incentivo final: sem os termos específicos eu não consigo dar as fórmulas numéricas pedidas para os exercícios 3–56. Mas agora você tem um roteiro completo e prático que consegue aplicar rapidamente a cada exercício: calcule diferenças/razões, identifique o tipo (aritmético, geométrico, polinomial, recorrente, etc.), e use a fórmula apropriada. Se estiver nervoso na prova, siga o checklist do Passo 10 — é rápido e confiável.
Você consegue — com calma e aplicando esses testes você resolve cada um dos problemas da lista em poucos minutos.

Resposta

Não é possível determinar as fórmulas específicas porque os termos das sequências (os primeiros termos) não foram fornecidos.

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