Usando o método de Newton, com erro epsilon <= 10^-3, determinar uma raiz das seguintes equações:
x-sin (x)=0

Passo 1

O enunciado pede pra usar o Método de Newton e achar uma raiz da equação
x - sin(x) = 0
com critério de parada |f(xn)| <= 10^-3.
Isso é parte de Cálculo Numérico: vamos precisar de
1) definir f(x) e sua derivada f'(x),
2) lembrar a fórmula de Newton
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn),
  1. escolher um chute inicial e iterar até |f(xn)|<=10^-3.

Passo 2

Definindo a função e sua derivada:
f(x) = x - sin(x), f'(x) = 1 - cos(x)
O Método de Newton aproxima a raiz usando a tangente à curva em cada iteração.

Passo 3

Escolhemos chute inicial x0=1. A cada passo fazemos
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn)
e conferimos |f(xn+1)|.

Passo 4

Iteração 1 ( n=0):
x0=1,
f(1)=1-sin(1)approx0.1585, f'(1)=1-cos(1)approx0.4597,
x1 = 1 - 0.15850.4597approx0.6551

Passo 5

Iteração 2 ( n=1):
x1approx0.6551,
f(0.6551)approx0.6551-sin(0.6551)approx0.0461,
f'(0.6551)approx1-cos(0.6551)approx0.2069,
x2 = 0.6551 - 0.04610.2069approx0.4323

Passo 6

Iteração 3 ( n=2):
x2approx0.4323,
f(0.4323)approx0.0135, f'(0.4323)approx0.0927,
x3 = 0.4323 - 0.01350.0927approx0.2867

Passo 7

Iteração 4 ( n=3):
x3approx0.2867,
f(0.2867)approx0.0035, f'(0.2867)approx0.0410,
x4 = 0.2867 - 0.00350.0410approx0.2013

Passo 8

Iteração 5 ( n=4):
x4approx0.2013,
f(0.2013)approx0.0013, f'(0.2013)approx0.0202,
x5 = 0.2013 - 0.00130.0202approx0.1369

Passo 9

Verificamos |f(x5)|approx|0.1369-sin(0.1369)|approx0.0004<=10^-3.
Como a condição de erro está satisfeita, paramos aqui.

Resposta

Uma raiz aproximada é xapprox0.1369, com |f(x)|<=10^-3,.

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