Usando o método de Newton, com erro epsilon <= 10^-3, determinar uma raiz das seguintes equações:
x^2 ln (x)-2=0

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra usar o método de Newton com erro máximo ε ≤ 10⁻³ pra encontrar uma raiz de
f(x) = x^2 ln(x) - 2 = 0
Isso faz parte de Métodos Numéricos (ou Análise Numérica). A gente vai precisar de:
  1. escrever xn+1 = xn - f(xn)f'(xn) ;
  2. calcular sua derivada ;
  3. usar a fórmula de Newton
e iterar até a diferença ficar abaixo de .

Passo 2

Primeiro, vamos achar f(x) = x^2 ln(x) - 2 Longrightarrow f'(x) = ddxl(x^2 ln xr) = 2xln(x) + x .
xn+1 = xn - xn^2 ln(xn) - 22xnln(xn) + xn
Então a fórmula de Newton fica

Passo 3

Agora precisamos de um chute inicial f(1)=1^2cdot0-2=-2<0 e f(2)=4cdotln2-2approx0,77>0, . Vendo que
f(1,8)=1,8^2ln(1,8)-2approx-0,09438, f'(1,8)=2cdot1,8ln(1,8)+1,8approx3,916
a raiz está entre 1 e 2. Vamos pegar x1 = 1,8 - -0,094383,916 approx 1,82411 .
Calculemos a primeira iteração:
Então

Passo 4

Segunda iteração:
f(1,82411)approx -0,000403, f'(1,82411)approx4,01451,
x2 = 1,82411 - -0,0004034,01451 approx 1,82421
A diferença já é menor que , então podemos parar.

Resposta

A raiz aproximada pela fórmula de Newton, com erro abaixo de boxedx approx 1,8242 , é

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