Aplique Newton-Raphson na equação
x^3-9 x+3=0,
iniciando em x0=0,5. Calcule 4 iterações, listando xk e .

Passo 1

Beleza, bora lá! A questão é achar uma raiz da equação
f(x)=x^3-9x+3=0
usando o método de Newton–Raphson, começando em xn+1=xn-f(xn)f'(xn), .
Conteúdo: método de Newton, que usa a fórmula
f'(x)=3x^2-9
onde é a derivada de . Aqui
Vamos precisar em cada iteração de:
  1. Calcular .
  2. Calcular .
  3. Atualizar .
    Depois de achar , vamos também conferir .

Passo 2

Primeira iteração ( x1 = 0,5 - -1,375-8,25 =0,5 - 0,1666667 =0,3333333 ):
  • f(x1)=(0,3333333)^3-9cdot0,3333333+3 =0,0370370 (approx 1/27)

  • Aplicando Newton:
E aí

Passo 3

Segunda iteração ( x2 = 0,3333333 - 0,0370370-8,6666667 =0,3333333 + 0,0042740 =0,3376073 ):
  • f(x2)=(0,3376073)^3-9cdot0,3376073+3 approx 3,702times10^-5
  • (já calculado)
    Atualiza:
Depois

Passo 4

Terceira iteração ( x3 = 0,3376073 - 3,702times10^-5-8,656203 =0,3376073 + 4,279times10^-6 =0,3376116 ):
  • f(x3)approx -1,03times10^-8

  • Atualiza:
E

Passo 5

Quarta iteração ( x4 = 0,3376116 - -1,03times10^-8-8,656192 approx 0,3376113 ):
  • f(x4)approx 1times10^-15

  • Atualiza:
E
(praticamente zero).

Resposta

Após 4 iterações, temos
x4 approx 0,3376113,
com , ou seja, convergiu para a raiz .

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