Use Newton-Raphson para resolver
f(x)=x^2+x-6=0,
com ponto inicial x0=1,5. Faça 4 iterações, mostrando xk e em cada uma.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente usar o método de Newton–Raphson pra achar uma raiz da função
f(x) = x^2 + x - 6 = 0
começando em xk+1 = xk - f(xk)f'(xk) e fazendo 4 iterações.
Conteúdo: métodos numéricos (Newton–Raphson).
O que precisamos:
  1. A derivada .
  2. A fórmula de iteração

Passo 2

Antes de tudo, vamos achar a derivada e entender a fórmula.
1)
f(x)=x^2+x-6 Longrightarrow f'(x)=2x+1
2) A ideia do Newton é aproximar a raiz desenhando a reta tangente em xk+1 = xk - f(xk)f'(xk) e vendo onde ela cruza o eixo . Isso leva à iteração
[
x_{k+1}

x_k

\frac{f(x_k)}{f’(x_k)}.
]
Agora é só aplicar isso 4 vezes, sempre calculando e .

Passo 3

Iteração 1 ( x0 = 1,5 f(x0) = (1,5)^2 + 1,5 - 6 = 2,25 + 1,5 - 6 = -2,25 ):
f'(x0) = 2cdot1,5 + 1 = 4
x1 = x0 - f(x0)f'(x0) = 1,5 - -2,254 = 1,5 + 0,5625 = 2,0625
f(x1) = (2,0625)^2 + 2,0625 - 6 approx 4,2539 + 2,0625 - 6 = 0,3164

Passo 4

Iteração 2 ( x1 = 2,0625 f(x1) approx 0,3164, f'(x1) = 2cdot2,0625 + 1 = 5,125 ):
x2 = 2,0625 - 0,31645,125 approx 2,0625 - 0,0617 = 2,0008
f(x2) = (2,0008)^2 + 2,0008 - 6 approx 4,0032 + 2,0008 - 6 = 0,0040

Passo 5

Iteração 3 ( x2 = 2,0008 f(x2) approx 0,0040, f'(x2) = 2cdot2,0008 + 1 = 5,0016 ):
x3 = 2,0008 - 0,00405,0016 approx 2,0008 - 0,0008 = 2,0000
f(x3) = (2,0000)^2 + 2,0000 - 6 = 4 + 2 - 6 = 0

Passo 6

Iteração 4 ( x3 = 2,0000, f(x3)=0, f'(x3)=2cdot2+1=5 x4 = 2,0000 - 05 = 2,0000 ):
f(x4)=0

Resposta

Depois de 4 iterações, a raiz aproximada é
boxedx approx 2,0000

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