Para
f(x)=e^x-2 x-2,
tome x0=1 e efetue 4 iterações do método de Newton-Raphson. Registre cada valor de xk.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra usar o método de Newton–Raphson pra aproximar a raiz de
f(x) = e^x - 2x - 2
com ponto inicial xk+1 ;=; xk ;-;f(xk)f'(xk) e fazer 4 iterações.
Isso é Cálculo Numérico: a ideia é usar a fórmula
f(x)=e^x-2x-2 ;Longrightarrow; f'(x)=ddx(e^x)-ddx(2x)-ddx(2) = e^x - 2
ou seja, a gente precisa:
  1. Derivar para achar .
  2. Avaliar e em cada iteração.
  3. Calcular .
Aqui, derivando terminho a terminho:

Passo 2

Vamos achar x1 = x0 - f(x0)f'(x0) = 1 ;-;e-4,e-2, .
  • Primeiro, f(1)=2.71828-4=-1.28172, f'(1)=2.71828-2=0.71828, .
  • Depois, x1 = 1 - -1.281720.71828 approx 1 + 1.78341 = 2.78341 .
  • Agora aplica Newton:
Usando :

Passo 3

Agora x2 = x1 - f(x1)f'(x1) = 2.78341 - 8.6131814.18 approx 2.78341 - 0.60745 = 2.17596 , achar .
  • .

    • então .
  • .
  • Aplica Newton:

Passo 4

Agora x3 = x2 - f(x2)f'(x2) = 2.17596 - 2.458086.81 approx 2.17596 - 0.36074 = 1.81522 , achar .
  • .

    .
  • .
  • Newton:

Passo 5

Agora x4 = x3 - f(x3)f'(x3) = 1.81522 - 0.506564.137 approx 1.81522 - 0.12249 = 1.69273 , achar .
  • .

    .
  • .
  • Newton:

Resposta

As 4 iterações do método de Newton-Raphson dão, aproximadamente,
x1 approx 2.78341, x2 approx 2.17596, x3 approx 1.81522, x4 approx 1.69273

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