Aplique Simpson 1 / 3 para calcular \int_{0}^{2} \frac{1}{x^{2}+2} d x com n=4.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos foi dado:\n
  • Pedem para aproximar a integral \displaystyle \int_{0}^{2} \frac{1}{x^{2}+2}\,dx usando a regra composta de Simpson 1/3 com n=4.\n
  • Dados importantes extraídos do enunciado:\n
    \displaystyle f(x)=\frac{1}{x^{2}+2},\quad a=0,\quad b=2,\quad n=4.

Passo 2

Apresentando a regra composta de Simpson 1/3 (a fórmula que vamos aplicar) e explicando suas partes:\n
  • Dividimos o intervalo [a,b] em n subintervalos de mesmo comprimento h, onde
h=\frac{b-a}{n}.
  • Os pontos (nós) são \displaystyle x_{i}=a+i h para i=0,1,\dots,n.\n
  • A fórmula composta de Simpson 1/3 pede n par (a regra só vale para n par) e dá:
\int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx \frac{h}{3}\Bigg[f(x_{0}) + 4\sum_{\substack{i=1\\\ i\\ \text{ímpar}}}^{n-1} f(x_{i}) + 2\sum_{\substack{i=2\\\ i\\ \text{par}}}^{n-2} f(x_{i}) + f(x_{n})\Bigg].í
  • O que significam os coeficientes: 4 multiplica as ordens ímpares (são os pontos médios de cada par de subintervalos) e 2 multiplica as ordens pares interiores; isso vem de aproximar cada par de subintervalos por uma parábola passando por três pontos.

Passo 3

Calcular h e os nós para o nosso caso:\n
  • Como a=0, b=2, n=4,
h=\frac{b-a}{n}=\frac{2-0}{4}=\frac{1}{2}.
  • Os nós são:
x_{0}=0,\quad x_{1}=\tfrac{1}{2},\quad x_{2}=1,\quad x_{3}=\tfrac{3}{2},\quad x_{4}=2.

Passo 4

Avaliar f(x)=\dfrac{1}{x^{2}+2} em cada nó (faço as contas com frações exatas para evitar arredondamento precoce):\n
  • f(x_{0})=f(0)=\frac{1}{0^{2}+2}=\frac{1}{2}.
  • f(x_{1})=f\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=\frac{1}{(\tfrac{1}{2})^{2}+2}=\frac{1}{\tfrac{1}{4}+2}=\frac{1}{\tfrac{9}{4}}=\frac{4}{9}.
  • f(x_{2})=f(1)=\frac{1}{1^{2}+2}=\frac{1}{3}.
  • f(x_{3})=f\!\left(\tfrac{3}{2}\right)=\frac{1}{(\tfrac{3}{2})^{2}+2}=\frac{1}{\tfrac{9}{4}+2}=\frac{1}{\tfrac{17}{4}}=\frac{4}{17}.
  • f(x_{4})=f(2)=\frac{1}{2^{2}+2}=\frac{1}{6}.

Passo 5

Substituir na fórmula de Simpson e computar a soma interior passo a passo:\n
  • Usamos a fórmula
\int_{0}^{2} f(x)\,dx \approx \frac{h}{3}\Big[f(x_{0}) + 4\big(f(x_{1})+f(x_{3})\big) + 2f(x_{2}) + f(x_{4})\Big].
  • Substituindo h=\tfrac{1}{2} e os valores:
\text{aprox}=\frac{1/2}{3}\Bigg[\frac{1}{2} + 4\Big(\frac{4}{9}+\frac{4}{17}\Big) + 2\cdot\frac{1}{3} + \frac{1}{6}\Bigg].
  • Simplifico termos dentro do colchete:\n
    Primeiro f(x_{0})+f(x_{4})=\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{6}=\tfrac{3}{6}+\tfrac{1}{6}=\tfrac{4}{6}=\tfrac{2}{3}.\n
    Depois 2f(x_{2})=2\cdot\tfrac{1}{3}=\tfrac{2}{3}.\n
    Agora 4\big(f(x_{1})+f(x_{3})\big)=4\big(\tfrac{4}{9}+\tfrac{4}{17}\big)=16\big(\tfrac{1}{9}+\tfrac{1}{17}\big).\n
    Compute \tfrac{1}{9}+\tfrac{1}{17}=\tfrac{17+9}{153}=\tfrac{26}{153}. Então
4\big(f(x_{1})+f(x_{3})\big)=16\cdot\frac{26}{153}=\frac{416}{153}.
  • Somando tudo dentro do colchete:
\frac{2}{3}+\frac{2}{3}+\frac{416}{153}=\frac{4}{3}+\frac{416}{153}.
  • Coloco \frac{4}{3} com denominador 153: \frac{4}{3}=\frac{4\cdot51}{153}=\frac{204}{153}. Então a soma é
\frac{204}{153}+\frac{416}{153}=\frac{620}{153}.

Passo 6

Multiplicar pelo fator externo \dfrac{h}{3} e simplificar o resultado:\n
  • Como \dfrac{h}{3}=\dfrac{1/2}{3}=\dfrac{1}{6}, a aproximação fica
\text{aprox}=\frac{1}{6}\cdot\frac{620}{153}=\frac{620}{918}.
  • Simplificando por 2:
\frac{620}{918}=\frac{310}{459}.
  • Em decimal (usar vírgula conforme convensão): \displaystyle \frac{310}{459}\approx0,67560.\n
  • (Opcional para comparação: o valor exato da integral é \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}\arctan\!\big(\frac{2}{\sqrt{2}}\big)\approx0,67513, então nosso resultado está muito próximo — erro da ordem de 4{,}7\times10^{-4}.)

Resposta

\dfrac{310}{459}\approx0,67560

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