Apresentados os dados da tabela:
x 7 8 9 11 13 15 17 19 21 23
\mathrm{f}(\mathrm{x}) 13 27 41 44 48 52 56 60 65 69
Construa o polinômio de grau 1, \left(\mathrm{y}=\mathrm{a}_{0}+\mathrm{a}_{1} \mathrm{x}\right), utilizando o método dos mínimos quadrados.

Passo 1

O enunciado dá uma tabela com os pares (x,\;f(x)) e pede para construir um polinômio de grau 1 \left(y=a_{0}+a_{1}x\right) usando o método dos mínimos quadrados. Vou listar claramente os dados fornecidos (peguei estes números da tabela):
  • Pontos: (7,13),\\ (8,27),\\ (9,41),\\ (11,44),\\ (13,48),\\ (15,52),\\ (17,56),\\ (19,60),\\ (21,65),\\ (23,69).
  • Número de observações: n=10.
O que se pede: determinar os coeficientes a_{0} e a_{1} do ajuste linear por mínimos quadrados, isto é, encontrar a reta que minimiza a soma dos quadrados dos resíduos.

Passo 2

Explicando a fórmula que vamos usar (passo-a-passo, sem pressupor conhecimento):
  • Queremos minimizar a soma dos quadrados dos resíduos \sum_{i=1}^{n}\big(y_{i}-(a_{0}+a_{1}x_{i})\big)^{2}.
  • As fórmulas fechadas para os coeficientes (resultado do sistema normal) são:
a_{1}=\frac{n\sum x_{i}y_{i} - \left(\sum x_{i}\right)\left(\sum y_{i}\right)}{n\sum x_{i}^{2} - \left(\sum x_{i}\right)^{2}}
a_{0}=\bar{y}-a_{1}\bar{x},
onde
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i},\qquad \bar{y}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}y_{i}.
Explicando cada símbolo:
  • x_{i} e y_{i} são os dados (no nosso caso y_{i}=f(x_{i}));
  • \sum x_{i} é a soma de todos os x;
  • \sum y_{i} é a soma de todos os y;
  • \sum x_{i}^{2} é a soma dos quadrados dos x;
  • \sum x_{i}y_{i} é a soma dos produtos x_{i}y_{i};
  • n é o número de pontos.
Vou calcular essas somas explicitamente com os dados da tabela.

Passo 3

Calcular as somas necessárias (peguei os x_{i} e y_{i} da tabela):
\sum x_{i}=7+8+9+11+13+15+17+19+21+23=143.
\sum y_{i}=13+27+41+44+48+52+56+60+65+69=475.
\sum x_{i}^{2}=7^{2}+8^{2}+9^{2}+11^{2}+13^{2}+15^{2}+17^{2}+19^{2}+21^{2}+23^{2}=2329.
\sum x_{i}y_{i}=7\cdot13+8\cdot27+9\cdot41+11\cdot44+13\cdot48+15\cdot52+17\cdot56+19\cdot60+21\cdot65+23\cdot69=7608.
Resumo das somas para referência:
n=10,\quad \sum x_{i}=143,\quad \sum y_{i}=475,\quad \sum x_{i}^{2}=2329,\quad \sum x_{i}y_{i}=7608.

Passo 4

Calcular as médias (médias aritméticas simples):
\bar{x}=\frac{\sum x_{i}}{n}=\frac{143}{10}=14{,}3, \qquad \bar{y}=\frac{\sum y_{i}}{n}=\frac{475}{10}=47{,}5.
Aqui \bar{x} e \bar{y} são os centros dos dados em x e y.

Passo 5

Calcular numerador e denominador da fórmula de a_{1}:
Numerador:
n\sum x_{i}y_{i} - \left(\sum x_{i}\right)\left(\sum y_{i}\right) =10\cdot7608 - 143\cdot475.
Calculemos cada termo:
10\cdot7608=76080, \qquad 143\cdot475=67925.
Portanto o numerador vale
76080-67925=8155.
Denominador:
n\sum x_{i}^{2} - \left(\sum x_{i}\right)^{2} =10\cdot2329 - 143^{2}.
Calculemos cada termo:
10\cdot2329=23290, \qquad 143^{2}=20449.
Portanto o denominador vale
23290-20449=2841.

Passo 6

Agora o coeficiente angular a_{1}:
a_{1}=\frac{8155}{2841}.
Para uso prático, posso dar a forma decimal aproximada (feita por divisão longa):
a_{1}\approx 2{,}87046814\ldots
Vou usar a_{1}\approx 2{,}870468 (arredondando a 6 casas decimais) para cálculos numéricos a seguir. Se preferir a forma exata, mantenha a fração \dfrac{8155}{2841}.

Passo 7

Calcular o coeficiente linear a_{0} usando a_{0}=\bar{y}-a_{1}\bar{x}.
Usando a forma fracionária exata:
a_{0}=\frac{475}{10}-\frac{8155}{2841}\cdot\frac{143}{10} =\frac{475\cdot2841 - 8155\cdot143}{10\cdot2841} =\frac{18331}{2841}.
Como decimal:
a_{0}\approx \frac{18331}{2841}\approx 6{,}4523056\ldots
Usando a_{1}\approx 2{,}870468 e \bar{x}=14{,}3
a_{0}\approx 47{,}5 - 2{,}870468\cdot14{,}3 \approx 6{,}452306,
coincidindo com a fração acima quando arredondado.

Passo 8

Conclusão — escrevendo a equação da reta ajustada:
  • Forma exata (coeficientes racionais):
y=\frac{18331}{2841}+\frac{8155}{2841}\,x.
  • Forma aproximada (coeficientes decimais, 6 casas decimais):
y\approx 6{,}452306 + 2{,}870468\,x.
Essa reta é a que minimiza a soma dos quadrados dos desvios verticais entre os pontos dados e a reta. Força aí — se precisar, posso mostrar como calcular o resíduo de cada ponto ou o coeficiente de determinação R^{2} para avaliar a qualidade do ajuste.

Resposta

y=\dfrac{18331}{2841}+\dfrac{8155}{2841}\,x
y\approx 6{,}452306 + 2{,}870468\,x

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