Apresentados os dados da tabela:
x
7
8
9
11
13
15
17
19
21
23
13
27
41
44
48
52
56
60
65
69
Construa o polinômio de grau 1,
, utilizando o método dos mínimos quadrados.
| x | 7 | 8 | 9 | 11 | 13 | 15 | 17 | 19 | 21 | 23 |
|
|
13 | 27 | 41 | 44 | 48 | 52 | 56 | 60 | 65 | 69 |
Passo 1
O enunciado dá uma tabela com os pares
e pede para construir um polinômio de grau 1
usando o método dos mínimos quadrados. Vou listar claramente os dados fornecidos (peguei estes números da tabela):
- Pontos:
. - Número de observações:
.
O que se pede: determinar os coeficientes
e
do ajuste linear por mínimos quadrados, isto é, encontrar a reta que minimiza a soma dos quadrados dos resíduos.
Passo 2
Explicando a fórmula que vamos usar (passo-a-passo, sem pressupor conhecimento):
- Queremos minimizar a soma dos quadrados dos resíduos
. - As fórmulas fechadas para os coeficientes (resultado do sistema normal) são:
onde
Explicando cada símbolo:
-
e são os dados (no nosso caso ); -
é a soma de todos os ; -
é a soma de todos os ; -
é a soma dos quadrados dos ; -
é a soma dos produtos ; -
é o número de pontos.
Vou calcular essas somas explicitamente com os dados da tabela.
Passo 3
Calcular as somas necessárias (peguei os
e
da tabela):
Resumo das somas para referência:
Passo 4
Calcular as médias (médias aritméticas simples):
Aqui
e
são os centros dos dados em
e
.
Passo 5
Calcular numerador e denominador da fórmula de
:
Numerador:
Calculemos cada termo:
Portanto o numerador vale
Denominador:
Calculemos cada termo:
Portanto o denominador vale
Passo 6
Agora o coeficiente angular
:
Para uso prático, posso dar a forma decimal aproximada (feita por divisão longa):
Vou usar
(arredondando a 6 casas decimais) para cálculos numéricos a seguir. Se preferir a forma exata, mantenha a fração
.
Passo 7
Calcular o coeficiente linear
usando
.
Usando a forma fracionária exata:
Como decimal:
Usando
e
dá
coincidindo com a fração acima quando arredondado.
Passo 8
Conclusão — escrevendo a equação da reta ajustada:
- Forma exata (coeficientes racionais):
- Forma aproximada (coeficientes decimais, 6 casas decimais):
Essa reta é a que minimiza a soma dos quadrados dos desvios verticais entre os pontos dados e a reta. Força aí — se precisar, posso mostrar como calcular o resíduo de cada ponto ou o coeficiente de determinação
para avaliar a qualidade do ajuste.